Релятивистские столкновения рассматриваются в рамках специальной теории относительности, когда скорости тел сопоставимы с скоростью света c. В таких случаях классические законы сохранения энергии и импульса требуют модификации с учётом релятивистских эффектов. Основные величины, используемые в релятивистской механике: четырёхимпульс, релятивистская энергия и релятивистский импульс.
Четырёхимпульс частицы определяется как:
$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right), $$
где E = γmc2 — полная энергия, p = γmv — релятивистский импульс, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.
Сохранение четырёхимпульса при столкновении выражается равенством:
∑iPдоμ = ∑iPпослеμ,
что автоматически учитывает как сохранение энергии, так и импульса в трёхмерном пространстве.
Релятивистские столкновения можно разделить на два основных типа:
Упругие столкновения При упругом релятивистском столкновении сохраняется не только четырёхимпульс, но и инвариантная масса системы:
mсистема2c2 = (∑iPiμ)2.
Полная кинетическая энергия частиц может перераспределяться, но суммарная энергия и импульс сохраняются.
Неупругие столкновения В этом случае отдельные тела могут менять внутреннюю энергию или превращаться в новые частицы. Сохраняется лишь общий четырёхимпульс системы:
∑iPiμ = ∑jPjμ,
где левая часть относится к исходным частицам, а правая — к продуктам столкновения. Инвариантная масса системы может увеличиваться за счёт образования новых частиц.
Для удобства анализа столкновений используют следующие величины:
Энергия покоя частиц: E0 = mc2
Полная энергия: E = γmc2
Релятивистский импульс: p = γmv
Энергия и импульс в центре масс (ЦМ) системы: Центр масс позволяет рассматривать столкновение симметрично:
PЦМ = ∑ipi = 0.
В этом случае скорости частиц перед и после столкновения выражаются через энергии и массы по формулам:
$$ E_i = \sqrt{p^2 c^2 + m_i^2 c^4}. $$
Инвариантная масса системы:
M2c4 = (∑iEi)2 − (∑ipic)2,
является ключевой величиной при анализе как упругих, так и неупругих процессов. Она остаётся постоянной при переходе в любую инерциальную систему отсчёта.
Для двух частиц масс m1 и m2 с начальными скоростями v1 и v2 релятивистские законы упругого столкновения сводятся к решению системы уравнений:
$$ \begin{cases} E_1 + E_2 = E_1' + E_2',\\ \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 = \mathbf{p}_1' + \mathbf{p}_2', \end{cases} $$
где Ei = γimic2, pi = γimivi.
В случае столкновения в одной линии (одномерное) выражение для скорости частицы после столкновения может быть записано в виде:
$$ v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} \quad \text{(классический предел)} $$
В релятивистской механике аналогичная формула усложняется и требует использования γ-факторов:
$$ v_1' = \frac{(E_1 + m_1 c^2 - m_2 c^2) v_1 + 2 E_2 v_2}{E_1 + E_2 + m_1 c^2 + m_2 c^2}. $$
Для точного расчёта необходимо решать систему уравнений для энергии и импульса численно или аналитически через четыре-импульсы.
Если столкновение сопровождается образованием новых частиц или возбуждением внутренней структуры, важно учитывать:
Общую энергию системы:
Etot = ∑iγimic2
Общий импульс системы:
ptot = ∑iγimivi
Например, при релятивистском столкновении двух частиц с образованием новой частицы массой M:
E1 + E2 = E3, p1 + p2 = p3
В системе центра масс импульс новой частицы может быть равен нулю, а её масса выражается через энергии исходных частиц:
Mc2 = E1ЦМ + E2ЦМ.
Столкновение электрона и позитрона: Электрон и позитрон с одинаковыми энергиями в системе центра масс могут полностью аннигилировать с образованием двух фотонов. Энергия каждого фотона в ЦМ:
Eγ = mec2γ
Направление движения фотонов определяется углом столкновения и сохранением импульса.
Релятивистский бомбардировочный эксперимент: Протоны с высокой энергией бомбардируют неподвижные мишени. Используется закон сохранения четырёхимпульса для вычисления возможных масс образующихся частиц и распределения их скоростей.