Симплектические интеграторы

Симплектические интеграторы представляют собой класс численных методов интегрирования гамильтоновых систем, которые сохраняют фундаментальные геометрические свойства фазового пространства. Их основное отличие от обычных численных схем заключается в сохранении симплектической структуры, что обеспечивает более точное и стабильное поведение при длительном численном моделировании.

Основы симплектической структуры

Гамильтонова система с n степенями свободы описывается уравнениями:

$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad i = 1, \dots, n, $$

где qi и pi — обобщённые координаты и импульсы, H(q, p) — гамильтониан системы.

Векторное представление через фазовый вектор z = (q1, …, qn, p1, …, pn)T даёт компактную форму:

$$ \dot{\mathbf{z}} = J \nabla H(\mathbf{z}), $$

где

$$ J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix} $$

— стандартная симплектическая матрица, In — единичная матрица размера n.

Ключевое свойство симплектической трансформации Φ заключается в том, что для любого времени t:

(Φt)′TJ(Φt)′ = J,

где (Φt)′ — якобиан отображения фазового пространства. Это условие гарантирует сохранение «объёмов» в фазовом пространстве (теорема Лиувилля) и фундаментально важно для физической корректности долгосрочной эволюции системы.

Принцип симплектического интегрирования

Стандартные численные методы, такие как метод Эйлера или Рунге–Кутты, не сохраняют симплектическую структуру, что приводит к постепенному дрейфу энергии и искажению фазовых траекторий. Симплектические интеграторы устраняют этот недостаток, обеспечивая:

  • сохранение структурных инвариантов системы,
  • корректное воспроизведение качественной динамики при больших временах,
  • уменьшение численной диссипации и искусственного нагрева энергии.

Основная идея заключается в разложении гамильтониана на части, которые интегрируются точно или приближённо, но симплектически, и комбинировании этих шагов в цепочку.

Симплектический метод Эйлера

Самый простой симплектический метод строится на основе явного и неявного варианта Эйлера:

Явный симплектический Эйлер:

$$ p_{n+1} = p_n - h \frac{\partial H}{\partial q}(q_n, p_n), \quad q_{n+1} = q_n + h \frac{\partial H}{\partial p}(q_n, p_{n+1}) $$

Неявный симплектический Эйлер:

$$ q_{n+1} = q_n + h \frac{\partial H}{\partial p}(q_{n+1}, p_n), \quad p_{n+1} = p_n - h \frac{\partial H}{\partial q}(q_{n+1}, p_n) $$

Оба варианта являются симплектическими, хотя первый проще в реализации, а второй обычно обеспечивает большую стабильность.

Метод Стёрмера–Верале (Velocity Verlet)

Для гамильтонианов вида $H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ широко применяется метод Стёрмера–Верале:

$$ q_{n+1} = q_n + h \frac{p_n}{m} + \frac{h^2}{2m} F(q_n), \quad p_{n+1} = p_n + \frac{h}{2} \left( F(q_n) + F(q_{n+1}) \right), $$

где $F(q) = -\frac{\partial V}{\partial q}$ — сила. Этот метод второй порядок точности, полностью симплектический, и прекрасно подходит для молекулярной динамики.

Разложение по операторам (Lie–Trotter и Strang)

Для гамильтонианов, представимых как сумма частей H = HA + HB, можно использовать разложение экспоненты эволютора:

ehLH = eh(LA + LB) ≈ ehLAehLB + O(h2),

где LHf = {f, H} — оператор Пуассона.

  • Lie–Trotter: простое последовательное применение ehLAehLB, первый порядок.
  • Strang splitting: симметричное разложение $e^{\frac{h}{2} L_A} e^{h L_B} e^{\frac{h}{2} L_A}$, второй порядок.

Такой подход позволяет строить высокопорядковые симплектические схемы через композицию.

Высокопорядковые симплектические методы

Для более высокой точности применяются методы составной интеграции, где базовый шаг симплектического интегратора повторяется с разными коэффициентами, обеспечивая точность порядка 4–8. Примеры включают:

  • композиционные схемы Йошимуры,
  • методы Руна–Кутта симплектического типа,
  • генерализованные интеграторы Молера–Симсона.

Эти методы позволяют проводить моделирование сложных систем (например, N-тел) без накопления численных ошибок, влияющих на долгосрочную динамику.

Применение в физике и механике

Симплектические интеграторы нашли широкое применение в:

  • небесной механике — для моделирования движения планет и спутников на больших интервалах времени;
  • молекулярной динамике — для устойчивого интегрирования атомных траекторий;
  • плазменной физике и динамике частиц в ускорителях — для сохранения фазовых объёмов;
  • квантовой классической аналогии — симплектические методы используются для семиклассических приближений.

Главное преимущество заключается в том, что они сохраняют качественную структуру движения, что особенно важно при исследовании резонансов, хаотических систем и долгоживущих траекторий.

Ключевые моменты

  • Симплектическая структура обеспечивает сохранение фазовых объёмов и инвариантов системы.
  • Симплектические интеграторы предотвращают дрейф энергии и сохраняют правильную динамику при длительном моделировании.
  • Методы включают симплектический Эйлер, Velocity Verlet, разложения по операторам и высокопорядковые композиционные схемы.
  • Применение охватывает небесную механику, молекулярную динамику, плазменную физику и другие области.

Симплектические интеграторы являются основой современного численного анализа гамильтоновых систем и незаменимы для качественного изучения длительной динамики сложных механических систем.

Оглавление