Собственные частоты и собственные моды

Определение и физическая сущность

В классической механике колебательная система — это система, способная совершать колебания под действием внутренних сил, при этом энергия системы периодически переходит между кинетической и потенциальной формами. Каждая такая система обладает собственными частотами и собственными модами колебаний, которые являются фундаментальными характеристиками её динамики.

Собственная частота — это частота, с которой система может колебаться без внешнего воздействия, если возмущение направлено точно по соответствующей собственной моде.

Собственная мода — это характер распределения амплитуд и фаз колеблющихся элементов системы при колебаниях на данной собственной частоте. В многомерных системах собственные моды определяют способ синхронного движения всех масс системы.

---

Математическая постановка

Рассмотрим линейную систему с n степенями свободы. Пусть q = (q₁, q₂, …, q_n)^T — вектор обобщённых координат. Движение системы описывается системой линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

$$ \mathbf{M} \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{K} \mathbf{q} = 0, $$

где M — матрица масс (положительно определённая, симметричная), K — матрица жёсткости (симметричная, положительно определённая).

Для поиска собственных частот и собственных мод используем решение в виде гармонического колебания:

q(t) = Φe^iωt,

где Φ — вектор амплитуд, ω — собственная частота. Подставляя в уравнение движения, получаем:

(−ω²M + K)Φ = 0.

Это задача на собственные значения:

det (K − ω²M) = 0.

• Корни ω_i² — это квадраты собственных частот.
• Векторы Φ_i — соответствующие собственные моды.

---

Свойства собственных частот и мод

1. Положительность собственных частот: так как M и K положительно определённые, ω_i² > 0.

2. Ортогональность собственных мод: Для двух различных собственных мод Φ_i и Φ_j выполняется

   Φ_i^TMΦ_j = 0,  i ≠ j.

   Также часто выполняется

   Φ_i^TKΦ_j = 0.

   Это позволяет разложить общее движение системы по независимым колебательным модам.

3. Линейная комбинация собственных мод: любое движение линейной системы может быть представлено как сумма колебаний по собственным модам:

   q(t) = ∑_ic_iΦ_icos (ω_it + ϕ_i),

   где c_i и ϕ_i определяются начальными условиями.

---

Примеры собственных частот и мод

1. Двухмассовая система на пружинах

Рассмотрим две массы m₁, m₂, соединённые пружинами с жёсткостью k. Уравнения движения:

$$ \begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 + k(2x_1 - x_2) = 0, \\ m_2 \ddot{x}_2 + k(2x_2 - x_1) = 0. \end{cases} $$

Решение задачи на собственные значения даёт две собственные частоты:

$$ \omega_1^2 = \frac{k}{m}, \quad \omega_2^2 = \frac{3k}{m} \quad (\text{при } m_1=m_2=m), $$

и две собственные моды:

$$ \mathbf{\Phi}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{\Phi}_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. $$

Физический смысл: первая мода — массы движутся синхронно, вторая — в противофазе.

2. Непрерывная система: струна

Для струны длиной L, натянутой с силой T и линейной плотностью ρ, волновое уравнение:

$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. $$

Решение с фиксированными концами y(0, t) = y(L, t) = 0 даёт:

$$ y_n(x,t) = \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos(\omega_n t + \phi_n), \quad \omega_n = \frac{n \pi}{L} \sqrt{\frac{T}{\rho}}, \quad n = 1,2,3,\dots $$

Здесь $\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)$ — собственные моды, ω_n — собственные частоты.

---

Физическая интерпретация

• Собственные моды отражают способ, по которому вся система «естественно» колеблется.
• Собственные частоты определяют скорость этих колебаний.
• В системах с большим числом степеней свободы собственные моды позволяют анализировать движение, сводя сложное динамическое поведение к набору независимых гармонических колебаний.
• В инженерных приложениях (строительство, аэрокосмическая техника, механические устройства) знание собственных частот критично для предотвращения резонансных разрушений.

---

Методика нахождения собственных частот и мод

1. Формирование матриц масс и жёсткости по уравнениям движения.
2. Решение задачи на собственные значения det (K − ω²M) = 0.
3. Нормировка собственных мод для удобства анализа (обычно по условию Φ_i^TMΦ_i = 1).
4. Декомпозиция общего решения через собственные моды.

Эта методика применяется как к дискретным системам с конечным числом степеней свободы, так и к непрерывным (строки, балки, мембраны) через разложение по ортогональным функциям.