Столкновения тел — один из важнейших разделов классической механики. Для их анализа необходимо учитывать законы сохранения импульса и энергии, а также выбор системы отсчета. Переход между различными системами отсчета позволяет выявить инвариантные свойства процессов и упростить расчеты.
В основе анализа лежат два фундаментальных принципа:
Рассмотрим особенности описания столкновений в лабораторной системе отсчета и в системе центра масс.
Определение. Лабораторной системой отсчета называют ту, в которой одно из тел (например, мишень) находится в покое до столкновения, а другое движется с некоторой скоростью.
Пусть масса движущегося тела равна m1, его скорость до столкновения — v⃗1. Второе тело массой m2 покоится, то есть v⃗2 = 0.
p⃗0 = m1v⃗1.
m1v⃗1 = m1v⃗1′ + m2v⃗2′.
В случае упругого столкновения дополнительно сохраняется энергия:
$$ \frac{1}{2} m_1 v_{1}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1}'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2}'^2. $$
Особенность лабораторной системы заключается в том, что анализ и интерпретация результатов удобны с экспериментальной точки зрения: именно здесь обычно производится измерение скоростей и углов разлета частиц. Однако аналитические выражения для скоростей после столкновения могут оказаться громоздкими.
Определение. Система центра масс (сокращенно СЦМ) — это система отсчета, в которой центр масс системы покоится.
Скорость центра масс двух тел:
$$ \vec{V}_{\text{см}} = \frac{m_1 \vec{v}_{1} + m_2 \vec{v}_{2}}{m_1 + m_2}. $$
Если одно из тел покоилось в лабораторной системе, то
$$ \vec{V}_{\text{см}} = \frac{m_1 \vec{v}_{1}}{m_1 + m_2}. $$
В системе центра масс выполняются следующие важные свойства:
p⃗1 = −p⃗2.
|v⃗1′ − v⃗2′| = |v⃗1 − v⃗2|.
Таким образом, анализ в системе центра масс значительно упрощается: задача сводится к геометрии скоростей и импульсов.
Переход из лабораторной системы в систему центра масс осуществляется с помощью преобразования Галилея. Если скорость центра масс равна V⃗см, то скорости в СЦМ выражаются как:
v⃗i* = v⃗i − V⃗см.
После вычисления результата столкновения в СЦМ обратным преобразованием получаем скорости в лабораторной системе:
v⃗i = v⃗i* + V⃗см.
Этот метод особенно удобен при решении задач о рассеянии, когда требуется найти углы разлета частиц и распределение их скоростей после удара.
Центральное столкновение — это случай, когда линии движения тел проходят через общий центр масс. В такой ситуации анализ в СЦМ максимально упрощается: направление скоростей тел изменяется симметрично относительно линии удара.
Нецентральное столкновение характеризуется ненулевым моментом импульса относительно центра масс. Тогда в СЦМ скорости тел после столкновения распределяются по углам, зависящим от геометрии удара. При этом выполняются те же законы сохранения, однако математический анализ требует рассмотрения векторных разложений и использования тригонометрических соотношений.
Например, в случае абсолютно неупругого удара (сцепления тел) в СЦМ тела после столкновения покоятся, а в лабораторной системе движутся совместно со скоростью V⃗см.
Для анализа столкновений в системе центра масс удобно использовать импульсные диаграммы. До и после столкновения векторные диаграммы импульсов сохраняют симметрию, что облегчает расчет углов разлета.
В лабораторной системе углы разлета выражаются через углы в СЦМ и соотношения между массами тел. Этот метод лежит в основе анализа экспериментов по рассеянию частиц в физике высоких энергий и ядерной физике.