Стоячие волны

Стоячая волна — это особый тип волнового движения, возникающий в результате интерференции двух встречных волн одинаковой частоты, амплитуды и скорости распространения. В отличие от бегущей волны, при которой энергия переносится вдоль направления распространения, в стоячей волне перенос энергии отсутствует: колебания ограничены определёнными точками пространства, а энергия распределяется между потенциальной и кинетической формами внутри системы.

Стоячие волны играют фундаментальную роль в механике и физике в целом, так как именно они определяют резонансные свойства систем, спектр колебаний, нормальные моды и характерные частоты колебательных процессов в замкнутых и ограниченных средах.

Уравнение стоячей волны

Пусть в упругой среде распространяются две встречные гармонические волны:

y1(x, t) = Asin (kx − ωt),  y2(x, t) = Asin (kx + ωt),

где

  • A — амплитуда,
  • $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число,
  • ω = 2πf — циклическая частота,
  • λ — длина волны,
  • f — частота колебаний.

Суммарное смещение определяется принципом суперпозиции:

y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t).

Применяя тригонометрическую тождественность, получаем:

y(x, t) = 2Asin (kx)cos (ωt).

Таким образом, стоячая волна имеет вид произведения функций, зависящих только от координаты и только от времени:

  • пространственная зависимость — sin (kx),
  • временная зависимость — cos (ωt).

Это указывает на то, что в стоячей волне нет переноса фазового фронта: каждое сечение колеблется синхронно с определённой амплитудой, зависящей от координаты.

Узлы и пучности

Стоячая волна характеризуется наличием узлов и пучностей:

  • Узлы — точки, где смещение всегда равно нулю:

    y(x, t) = 0  ⇒  sin (kx) = 0.

    Это выполняется при

    $$ x_n = n \frac{\pi}{k} = n \frac{\lambda}{2}, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$

  • Пучности — точки, где амплитуда максимальна:

    $$ \sin(kx) = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\lambda}{4}, \; \frac{3\lambda}{4}, \; \frac{5\lambda}{4}, \dots $$

В пучностях среда совершает наибольшие колебания, а в узлах — отсутствует смещение.

Энергия стоячей волны

Хотя в стоячей волне нет переноса энергии вдоль оси, энергия колебаний всё же распределена в пространстве.

  • Потенциальная энергия упругой деформации сосредоточена в узлах.
  • Кинетическая энергия максимальна в пучностях.

Со временем происходит периодический обмен энергией между различными участками системы, что и обуславливает колебательный характер движения.

Стоячие волны в струнах

Рассмотрим струну длиной L, закреплённую на концах. На концах струны всегда формируются узлы:

y(0, t) = 0,  y(L, t) = 0.

Это накладывает условия на длину волны:

$$ L = n \frac{\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$

Отсюда длины возможных волн:

$$ \lambda_n = \frac{2L}{n}. $$

Частоты собственных колебаний струны:

$$ f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{nv}{2L}, $$

где v — скорость распространения возмущений в струне.

Таким образом, струна может колебаться только на дискретных частотах — гармониках, кратных основной частоте $f_1 = \frac{v}{2L}$.

Стоячие волны в стержнях и пластинах

Для стержней и пластин условия образования стоячих волн зависят от граничных условий: закрепления, свободы концов или их комбинации.

  • Для стержня, закреплённого на обоих концах, ситуация аналогична струне.

  • Для стержня с одним закреплённым концом и одним свободным — в закреплённой точке формируется узел, а в свободной — пучность. В этом случае возможны длины волн:

    $$ L = \frac{(2n-1)\lambda}{4}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$

Похожие условия справедливы для колебаний мембран и пластин, но спектр собственных частот более сложный и зависит от двумерной геометрии и граничных условий.

Стоячие звуковые волны в трубах

В случае воздуха в трубах также формируются стоячие волны.

  • Обе стороны трубы открыты: в обоих концах возникают пучности смещения воздуха. Условие:

    $$ L = n \frac{\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$

  • Один конец закрыт, другой открыт: в закрытом конце всегда узел смещения, в открытом — пучность. Условие:

    $$ L = \frac{(2n-1)\lambda}{4}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$

Такие явления лежат в основе работы духовых музыкальных инструментов.

Фазовые и временные свойства

В стоячей волне все точки, расположенные между соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе. Между двумя соседними пучностями также сохраняется синфазность. Однако колебания, относящиеся к соседним сегментам (между двумя соседними узлами), происходят в противофазе.

Это свойство позволяет рассматривать систему стоячих волн как совокупность независимых сегментов, каждый из которых представляет собой осциллятор с определённой амплитудой и фазой.

Практическое значение стоячих волн

Стоячие волны играют ключевую роль в различных областях физики и техники:

  • в акустике — при построении музыкальных инструментов и акустических резонаторов;
  • в механике твёрдых тел — для анализа резонансных частот конструкций;
  • в радиотехнике — при распространении электромагнитных волн в линиях передачи;
  • в квантовой механике — как аналог пространственного квантования при решении уравнения Шрёдингера для связанных систем.

Таким образом, стоячие волны представляют собой фундаментальное проявление волновых процессов, лежащее в основе дискретности спектров и резонансных явлений.

Оглавление