Свободные колебания с затуханием

Рассмотрим материальную точку массы m, совершающую колебания под действием силы упругости и силы сопротивления. Пусть точка связана с пружиной жесткости k, а сопротивление среды пропорционально скорости:

Fсопр = −rẋ,  r > 0,

где r — коэффициент сопротивления.

Суммарное уравнение движения согласно второму закону Ньютона:

$$ m \ddot{x} + r \dot{x} + kx = 0. $$

Это уравнение второго порядка описывает свободные колебания с затуханием.

Для удобства введём обозначения:

$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \beta = \frac{r}{2m}. $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_0^2 x = 0. $$

Здесь:

  • ω0 — собственная (ненарушенная) частота системы,
  • β — коэффициент затухания.

Характеристическое уравнение

Ищем решение в виде x(t) = eλt. Подстановка в уравнение даёт:

λ2 + 2βλ + ω02 = 0.

Корни характеристического уравнения:

$$ \lambda_{1,2} = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}. $$

Поведение колебаний определяется знаком подкоренного выражения:

  1. Случай слабого затухания (β < ω0):

$$ \lambda_{1,2} = -\beta \pm i \omega, \quad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}. $$

Решение имеет вид:

x(t) = Ae−βtcos (ωt + φ).

  1. Критическое затухание (β = ω0):

λ1, 2 = −ω0.

Решение:

x(t) = (C1 + C2t)e−ω0t.

Колебания отсутствуют, система возвращается в равновесие за минимальное время.

  1. Сильное затухание (β > ω0): Корни действительные и отрицательные:

$$ \lambda_{1,2} = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}. $$

Решение:

x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t.

Система монотонно возвращается в равновесное положение без колебаний.

Слабозатухающие колебания

Наибольший интерес представляют колебания при условии β ≪ ω0. В этом случае решение:

x(t) = Ae−βtcos (ωt + φ),  ω ≈ ω0.

Здесь:

  • экспоненциальный множитель e−βt определяет убывание амплитуды,
  • частота ω чуть меньше собственной частоты ω0.

Период колебаний:

$$ T = \frac{2\pi}{\omega}. $$

Амплитуда как функция времени:

A(t) = A0e−βt.

Таким образом, амплитуда убывает по закону экспоненты.

Временная и логарифмическая декрементация

Для количественной характеристики затухания вводят понятие декремента затухания.

  • Временной декремент:

$$ \tau = \frac{1}{\beta}, $$

характеризует время, за которое амплитуда убывает в e раз.

  • Логарифмический декремент:

$$ \delta = \ln \frac{x(t)}{x(t+T)}. $$

Для слабого затухания:

$$ \delta = \beta T = \frac{2\pi \beta}{\omega}. $$

Это величина показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда за один период.

Энергия затухающих колебаний

Полная энергия системы:

$$ E = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2. $$

При слабом затухании:

E(t) ≈ E0e−2βt.

Таким образом, энергия убывает экспоненциально вдвое быстрее, чем амплитуда.

Геометрическая интерпретация

Если изобразить зависимость x(t), то при слабом затухании видим быстро осциллирующую кривую с экспоненциально сужающейся огибающей. В критическом случае огибающая имеет вид монотонно убывающей кривой без колебаний. При сильном затухании движение медленнее, чем в критическом случае, так как система «задерживается» из-за слишком большой силы сопротивления.

Практическое значение

Затухающие колебания встречаются в механике, электротехнике, акустике и инженерии. В механических системах сила сопротивления часто обусловлена трением, в электрических цепях — сопротивлением проводников. Важно уметь управлять уровнем затухания:

  • слабое затухание обеспечивает длительное существование колебаний,
  • критическое затухание используется для быстрого подавления отклонений,
  • сильное затухание приводит к слишком медленному возврату системы в равновесие.

Особое внимание уделяется расчету логарифмического декремента и добротности системы, так как эти параметры определяют эффективность колебательного процесса.

Оглавление