Связанные осцилляторы представляют собой систему, состоящую из двух или более колебательных элементов, взаимодействующих друг с другом посредством упругих или других сил связи. В отличие от одиночного гармонического осциллятора, динамика связанных систем характеризуется возникновением новых свойств, таких как нормальные колебания, биения и перераспределение энергии между частями системы.
В классической механике такие модели используются для описания колебаний атомов в кристаллической решётке, колебаний в электрических цепях, движения связанных маятников и многих других физических явлений.
Рассмотрим систему из двух одинаковых материальных точек массы m, каждая из которых соединена с неподвижными опорами с помощью одинаковых пружин жёсткости k, а также связана между собой пружиной жёсткости k′. Пусть смещения точек от положения равновесия равны x1(t) и x2(t).
Тогда уравнения движения запишутся в виде:
$$ m\ddot{x}_1 = -k x_1 - k'(x_1 - x_2), $$
$$ m\ddot{x}_2 = -k x_2 - k'(x_2 - x_1). $$
Приведём их к каноническому виду:
$$ m\ddot{x}_1 + (k+k')x_1 - k' x_2 = 0, $$
$$ m\ddot{x}_2 + (k+k')x_2 - k' x_1 = 0. $$
Эта система дифференциальных уравнений второго порядка описывает динамику связанных осцилляторов.
Чтобы найти общие законы движения, удобно перейти к новым переменным — нормальным координатам. Введём линейные комбинации:
$$ X = \frac{x_1 + x_2}{\sqrt{2}}, \quad Y = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}}. $$
Подстановка в уравнения движения показывает, что величины X и Y описывают независимые колебания с различными частотами.
Для координаты X (синфазное движение, когда x1 = x2):
$$ m \ddot{X} + kX = 0, \quad \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}. $$
Для координаты Y (противофазное движение, когда x1 = −x2):
$$ m \ddot{Y} + (k+2k')Y = 0, \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}}. $$
Таким образом, система имеет две собственные частоты: одна соответствует совместным колебаниям, другая — противофазным.
Нормальные моды — это характерные формы движения системы, при которых все её части колеблются гармонически с одной и той же частотой и фиксированным соотношением амплитуд.
Важно, что для каждой моды энергии в системе не происходит обмена: осцилляторы сохраняют строго определённое распределение энергии.
Если задать начальные условия, которые не совпадают точно с одной из нормальных мод, то движение будет представлять собой суперпозицию двух мод. В этом случае энергия периодически перетекает из одного осциллятора в другой.
Например, если в начальный момент времени сместить только первую массу, а вторую оставить неподвижной, то её движение можно разложить на комбинацию синфазной и противофазной мод:
x1(t) = Acos (ω1t) + Bcos (ω2t),
x2(t) = Acos (ω1t) − Bcos (ω2t).
Разность частот Δω = ω2 − ω1 определяет характер биений. При близких значениях ω1 и ω2 возникают заметные медленные модуляции амплитуды — биения.
Полная энергия системы выражается как сумма кинетической и потенциальной:
$$ E = \frac{m}{2}(\dot{x}_1^2 + \dot{x}_2^2) + \frac{k}{2}(x_1^2 + x_2^2) + \frac{k'}{2}(x_1 - x_2)^2. $$
При движении в нормальных координатах X, Y эта энергия раскладывается на две независимые части:
$$ E = \frac{m}{2}\dot{X}^2 + \frac{k}{2}X^2 + \frac{m}{2}\dot{Y}^2 + \frac{k+2k'}{2}Y^2. $$
Каждая часть соответствует энергии отдельной нормальной моды. Таким образом, нормальные координаты позволяют свести задачу о связанных осцилляторах к задаче о независимых гармонических колебаниях.
Если число осцилляторов N велико, то система имеет N собственных частот и столько же нормальных мод. Решение получается аналогично: диагонализация системы уравнений движения приводит к независимым координатам.
В пределе N → ∞ и при непрерывном распределении осцилляторов (например, колебания в струне или колебания атомов в кристалле) спектр частот становится квазинепрерывным. В этом случае нормальные моды соответствуют стоячим волнам, а система изучается методами теории колебаний и волновой механики.