В классической механике механические системы часто ограничены различного рода связями, которые накладывают условия на возможное движение тел. Связь — это математическое выражение, которое ограничивает координаты и/или скорости частиц системы. Связи классифицируются следующим образом:
f(q1, q2, …, qn, t) = 0,
где qi — обобщенные координаты системы, а t — время. Голономные связи полностью определяют геометрические ограничения движения.
$$ \sum_{i=1}^{n} a_i(q_1, \dots, q_n, t) \, dq_i + a_0(q_1, \dots, q_n, t) \, dt = 0. $$
Такие связи нельзя интегрировать до уравнения, зависящего только от координат и времени, и они ограничивают не все траектории, а только их направления.
Ключевой момент: наличие связей уменьшает число независимых степеней свободы системы. Если исходная система имела N степеней свободы, а накладывается k независимых голономных связей, то число независимых координат уменьшается до n = N − k.
Когда необходимо учитывать связи при формулировке уравнений движения, удобным инструментом являются множители Лагранжа. Идея метода заключается в следующем: если мы хотим найти экстремаль функционала действия
S = ∫t1t2L(qi, q̇i, t) dt
при наличии связей, вводим дополнительные неизвестные λα(t), называемые множителями Лагранжа, и формируем модифицированный лагранжиан:
$$ \tilde{L} = L + \sum_{\alpha=1}^{k} \lambda_\alpha f_\alpha(q_1, \dots, q_n, t), $$
где fα = 0 — голономные связи. В результате уравнения Эйлера–Лагранжа для L̃ принимают вид:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_{\alpha=1}^{k} \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial q_i}, \quad i = 1, \dots, n. $$
Физический смысл множителей Лагранжа: каждый λα представляет собой силу, необходимую для поддержания соответствующей связи. Таким образом, метод позволяет одновременно определить движение и силы реакции связей.
Рассмотрим груз массы m, движущийся по гладкой поверхности, ограниченной кривой f(x, y) = 0. Лагранжиан системы:
$$ L = \frac{m}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2). $$
Вводим множитель Лагранжа λ для связи:
$$ \tilde{L} = \frac{m}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \lambda f(x,y). $$
Уравнения Эйлера–Лагранжа дают:
$$ m\ddot{x} = \lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \quad m\ddot{y} = \lambda \frac{\partial f}{\partial y}, \quad f(x,y) = 0. $$
Решение этих уравнений одновременно определяет траекторию и величину силы реакции связи $\vec{R} = (\lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \lambda \frac{\partial f}{\partial y})$.
Если система имеет несколько связей f1, f2, …, fk, то уравнения Лагранжа с множителями принимают вид:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_{\alpha=1}^{k} \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial q_i}, \quad i = 1, \dots, n. $$
К ним добавляются сами уравнения связей fα(q1, …, qn, t) = 0. Получается система n + k уравнений для n + k неизвестных (qi и λα).
Множители Лагранжа дают способ учитывать силы реакции связей без необходимости напрямую использовать второй закон Ньютона для каждой частицы. Для частицы i силы реакции R⃗i можно записать через множители:
$$ \vec{R}_i = \sum_{\alpha} \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial \vec{r}_i}. $$
Таким образом, метод Лагранжа универсально объединяет динамику и геометрические ограничения.
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_\alpha \lambda_\alpha a_{i\alpha}, $$
где aiα — коэффициенты при q̇i в α-й связи.