Теорема Кенига для момента импульса утверждает, что момент импульса сложной механической системы относительно произвольной точки можно разложить на сумму двух составляющих:
Таким образом, движение системы можно удобно разделить на поступательное движение центра масс и внутреннее вращательное движение системы относительно её центра масс.
Пусть система состоит из N материальных точек массами mi, имеющими радиус-векторы r⃗i и скорости v⃗i. Выберем произвольную точку O, относительно которой будем вычислять момент импульса.
Момент импульса системы относительно точки O:
$$ \vec{K}_O = \sum_{i=1}^N [\vec{r}_i \times m_i \vec{v}_i] $$
Введём центр масс системы с радиус-вектором
$$ \vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i, \quad M = \sum_{i=1}^N m_i $$
и скорость центра масс
$$ \vec{V} = \frac{d\vec{R}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i $$
Представим движение каждой точки как сумму движения центра масс и относительного движения:
r⃗i = R⃗ + ρ⃗i, v⃗i = V⃗ + w⃗i
где ρ⃗i — радиус-вектор точки относительно центра масс, а w⃗i — её относительная скорость.
Подставим в выражение для момента импульса:
$$ \vec{K}_O = \sum_{i=1}^N [(\vec{R} + \vec{\rho}_i) \times m_i (\vec{V} + \vec{w}_i)] $$
Раскроем скобки:
$$ \vec{K}_O = \sum_{i=1}^N [\vec{R} \times m_i \vec{V}] + \sum_{i=1}^N [\vec{R} \times m_i \vec{w}_i] + \sum_{i=1}^N [\vec{\rho}_i \times m_i \vec{V}] + \sum_{i=1}^N [\vec{\rho}_i \times m_i \vec{w}_i] $$
Теперь проанализируем каждую сумму:
$$ \sum_{i=1}^N [\vec{R} \times m_i \vec{V}] = [\vec{R} \times \vec{V} \sum_{i=1}^N m_i] = [\vec{R} \times M \vec{V}] $$
$$ \sum_{i=1}^N [\vec{R} \times m_i \vec{w}_i] = [\vec{R} \times \sum_{i=1}^N m_i \vec{w}_i] $$
Но так как ∑miw⃗i = 0 (по определению центра масс), эта сумма равна нулю.
$$ \sum_{i=1}^N [\vec{\rho}_i \times m_i \vec{V}] = [\sum_{i=1}^N m_i \vec{\rho}_i \times \vec{V}] = [0 \times \vec{V}] = 0 $$
так как ∑miρ⃗i = 0.
$$ \sum_{i=1}^N [\vec{\rho}_i \times m_i \vec{w}_i] $$
является моментом импульса системы относительно центра масс:
$$ \vec{K}_C = \sum_{i=1}^N [\vec{\rho}_i \times m_i \vec{w}_i] $$
Таким образом, окончательная форма теоремы Кенига для момента импульса:
K⃗O = [R⃗ × MV⃗] + K⃗C
Первая часть [R⃗ × MV⃗] — это момент импульса системы, если её представить в виде одной материальной точки массы M, расположенной в центре масс и движущейся относительно точки O.
Вторая часть K⃗C описывает внутреннее вращательное движение системы вокруг её центра масс.
Таким образом, общий момент импульса системы складывается из двух независимых типов движения: поступательного движения центра масс и относительного движения частей системы.
Механика твёрдого тела. Для твёрдого тела, рассматриваемого как совокупность точек, теорема Кенига позволяет свести задачу к вычислению движения центра масс и вращения относительно центра масс.
Многочастичные системы. В задачах небесной механики (движение планет, спутников, галактик) теорема упрощает анализ, так как позволяет разделить движение всей системы как целого и её внутреннюю динамику.
Гироскопы и вращающиеся системы. При изучении устойчивости вращения, прецессии и нутации удобно использовать разложение момента импульса по теореме Кенига.
Динамика систем с переменной массой. При движении ракеты или выбросе массы из системы важно учитывать вклад центра масс и относительное вращение частиц.
Если точка O совпадает с центром масс C, то
K⃗C = K⃗O
и формула вырождается в простое выражение момента импульса системы относительно центра масс.
Если же система движется поступательно без вращения, то K⃗C = 0, и момент импульса полностью определяется движением центра масс.