Теорема Лиувилля занимает центральное место в классической механике, особенно в гамильтоновой формулировке, и описывает фундаментальное свойство фазового пространства динамических систем. Она устанавливает, что при эволюции системы в фазовом пространстве сохраняется объем фазового потока. Данное утверждение имеет глубокие последствия для статистической механики, термодинамики и теории хаоса.
Фазовое пространство системы с n степенями свободы определяется как 2n-мерное пространство координат q = (q1, q2, …, qn) и канонических импульсов p = (p1, p2, …, pn). Каждая точка в этом пространстве полностью характеризует состояние системы в данный момент времени.
Фазовый поток — это траектория точки, представляющей состояние системы в фазовом пространстве, при эволюции системы согласно уравнениям Гамильтона:
$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad i = 1, \dots, n, $$
где H(q, p, t) — гамильтониан системы.
Теорема Лиувилля утверждает, что объем фазового пространства, ограниченный замкнутой гиперповерхностью, сохраняется при течении времени. Формально это выражается через фазовую плотность ρ(q, p, t):
$$ \frac{d \rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial \rho}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial \rho}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = 0. $$
Для гамильтоновых систем это следует из нулевого дивергента фазового потока:
$$ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \right) = 0. $$
Ключевой момент: фазовый объем dΓ = dq1…dqn dp1…dpn не изменяется при эволюции системы.
Рассмотрим фазовую плотность ρ(q, p, t). Эволюция плотности в фазовом пространстве описывается уравнением непрерывности:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, $$
где $\mathbf{v} = (\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{p}})$ — фазовая скорость. Для гамильтоновой системы:
$$ \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_i \partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i} \right) = 0, $$
что следует из непрерывности смешанных производных. Следовательно, дивергенция фазового потока равна нулю, и плотность ρ сохраняется вдоль траекторий фазового потока.
Геометрически теорема Лиувилля означает, что фазовый поток не сжимается и не растягивается в фазовом пространстве. Если рассмотреть “объем частиц” в фазовом пространстве (например, пучок состояний), этот объем сохраняет свою величину, хотя его форма может деформироваться.
Эта деформация может быть сложной и закручиваться в сложные структуры, но общий объем остается неизменным. Именно это свойство делает фазовое пространство “инкомпрессибельным” для гамильтоновых систем.
Статистическая механика: сохранение фазового объема лежит в основе гипотезы равновероятности микросостояний и принципа равномерного распределения в фазовом пространстве.
Эргодическая теория: теорема Лиувилля позволяет рассматривать средние значения физических величин как средние по фазовому объему при достаточно длительном времени.
Теория хаоса: несмотря на сохранение фазового объема, локальные растяжения и сжатия траекторий (характерные для хаотических систем) приводят к сложным фрактальным структурам в фазовом пространстве.
Инвариантность Гамильтона: теорема Лиувилля является прямым следствием канонической структуры уравнений Гамильтона, что подчеркивает фундаментальную роль канонических преобразований.
1. Свободное движение частицы: фазовое пространство — прямая p и координата q. Траектории прямолинейны, фазовый объем сохраняется тривиально.
2. Гармонический осциллятор: траектории в фазовом пространстве — эллипсы. Любой замкнутый пучок траекторий сохраняет площадь в фазовом пространстве, что иллюстрирует сохранение действия.
3. Система нескольких частиц: для N-частичной системы фазовое пространство имеет размерность 6N. Несмотря на сложную динамику, суммарный фазовый объем сохраняется, что позволяет формулировать статистические законы.
Любое каноническое преобразование (q, p) ↦ (Q, P) сохраняет структуру гамильтоновых уравнений. Следствием является сохранение фазового объема:
dq1…dqn dp1…dpn = dQ1…dQn dP1…dPn.
Таким образом, теорема Лиувилля обеспечивает инвариантность фазового объема относительно всех канонических преобразований, что является фундаментальным свойством гамильтоновой механики.