Теорема о равнораспределении (или теорема о равномерном распределении энергии) является одним из фундаментальных результатов классической статистической механики, связывающих микроскопическое поведение частиц с макроскопическими термодинамическими свойствами системы. В её основе лежит предположение, что при достаточно большой продолжительности наблюдения или в термодинамическом равновесии средняя кинетическая энергия каждого степеней свободы системы, входящей в квадратичную форму в гамильтониане, одинакова.
Формулировка теоремы: Для системы, находящейся в термодинамическом равновесии, каждая степень свободы, которая входит в гамильтониан системы квадратично, обладает средней энергией:
$$ \langle E_i \rangle = \frac{1}{2} k_B T $$
где:
Эта формула распространяется как на кинетические, так и на потенциальные квадратичные члены энергии, что делает её крайне универсальной.
$$ \langle E_{\text{кин}} \rangle = \frac{3}{2} k_B T $$
Для системы из N частиц средняя энергия всего газа:
$$ \langle E_{\text{всего}} \rangle = \frac{3}{2} N k_B T $$
Итого энергия на молекулу определяется суммой вклада всех активных степеней свободы.
Рассмотрим гамильтониан системы:
$$ H = \sum_i \frac{p_i^2}{2 m_i} + V(q_1, q_2, ..., q_n) $$
Если потенциальная энергия V квадратична по координатам:
$$ V = \frac{1}{2} \sum_j k_j q_j^2 $$
то статистическое усреднение любой квадратичной степени свободы даёт:
$$ \langle \frac{p_i^2}{2 m_i} \rangle = \frac{1}{2} k_B T, \quad \langle \frac{1}{2} k_j q_j^2 \rangle = \frac{1}{2} k_B T $$
Усреднение выполняется по каноническому распределению Больцмана:
$$ \rho(p,q) = \frac{1}{Z} \exp \left( -\frac{H(p,q)}{k_B T} \right) $$
где Z — статистическая сумма. Интегрирование по каждой степени свободы, входящей квадратично, даёт прямое подтверждение формулы $\langle E \rangle = \frac{1}{2} k_B T$.
Теорема о равнораспределении показывает, что в равновесной системе энергия «распределяется поровну» между всеми активными степенями свободы. Это объясняет макроскопические законы термодинамики через микроскопические свойства частиц:
$$ \langle E \rangle = \langle \frac{p^2}{2 m} \rangle + \langle \frac{1}{2} k x^2 \rangle = k_B T $$
Трёхмерная система частиц в объёме V Средняя кинетическая энергия на частицу: $\frac{3}{2} k_B T$ Общая энергия для N частиц: $\frac{3}{2} N k_B T$
Ротационные степени свободы молекулы Каждая вращательная степень свободы: $\frac{1}{2} k_B T$ Для линейной молекулы: 2 вращательные степени свободы → kBT на молекулу
Теорема о равнораспределении энергии является краеугольным камнем классической механики и статистической физики, обеспечивая глубокую связь между микроскопической динамикой частиц и макроскопическими термодинамическими величинами. Она позволяет строить предсказания для широкого спектра систем, от газов и жидкостей до колебаний кристаллических решёток и вращательных движений молекул.