Теорема Штейнера

Теорема Штейнера, или теорема о параллельных осях, утверждает: момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

В аналитической форме это записывается так:

I = Ic + Md2,

где

  • I — момент инерции относительно новой оси,
  • Ic — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,
  • M — масса тела,
  • d — расстояние между осями.

Эта теорема имеет фундаментальное значение, так как позволяет упростить вычисления моментов инерции тел относительно различных осей вращения.


Вывод теоремы

Рассмотрим твердое тело массы M, расположенное в некоторой системе координат. Пусть через центр масс проведена ось Oz, а параллельная ей ось Oz проходит на расстоянии d от центра масс.

Момент инерции относительно оси Oz выражается как

I = ∑miri2,

где mi — масса i-й частицы, а ri — расстояние этой частицы до оси Oz.

Рассмотрим разложение ri2. Пусть xi, yi — координаты частицы в плоскости, перпендикулярной оси Oz, а сама ось Oz смещена относительно Oz на величину d вдоль оси Ox. Тогда

ri2 = (xi − d)2 + yi2.

Следовательно,

I = ∑mi[(xi − d)2 + yi2].

Раскроем скобки:

I = ∑mi(xi2 + yi2) − 2dmixi + d2mi.

Первое слагаемое — это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс:

Ic = ∑mi(xi2 + yi2).

Второе слагаемое обращается в ноль, так как mixi = 0 в системе координат, связанной с центром масс.

Третье слагаемое равно Md2.

Итак, окончательно:

I = Ic + Md2.


Геометрический смысл

Теорема Штейнера утверждает, что при переносе оси вращения на расстояние d от центра масс момент инерции увеличивается на добавку Md2. Это добавление можно трактовать как момент инерции массы, сосредоточенной в центре масс, при переносе её на новую ось.

Таким образом, поведение распределенной массы сводится к простой механической модели — точечная масса M, удаленная на расстояние d от оси вращения, даёт добавочный момент инерции.


Применения

  1. Механика вращающихся тел В инженерных расчетах часто требуется знать момент инерции относительно оси, которая не совпадает с центральной. Например, при расчете маховиков, колёс, шкивов, вращающихся вокруг осей, смещённых относительно центра симметрии.

  2. Расчёт устойчивости тел При анализе колебаний тел (например, маятников, платформ, подвешенных конструкций) момент инерции относительно осей подвеса вычисляется именно с помощью теоремы Штейнера.

  3. Физические маятники В задачах о колебаниях физического маятника требуется момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса. Теорема позволяет выразить его через момент инерции относительно центра масс и расстояние до точки подвеса.


Примеры

1. Однородный стержень длиной L и массой M. Момент инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной стержню:

$$ I_c = \frac{1}{12} M L^2. $$

Момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярной ему:

$$ I = I_c + M \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12} M L^2 + \frac{1}{4} M L^2 = \frac{1}{3} M L^2. $$

2. Однородный диск радиуса R и массы M. Момент инерции относительно оси через центр и перпендикулярной плоскости диска:

$$ I_c = \frac{1}{2} M R^2. $$

Момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через край диска:

$$ I = I_c + M R^2 = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2. $$


Особенности и ограничения применения

  • Теорема Штейнера применима только к параллельным осям. Для осей, пересекающихся под углом, используется более общая теория преобразования тензора инерции.
  • Базовая ось должна проходить через центр масс тела. Если в качестве исходной взять произвольную ось, формула не будет справедлива.
  • Теорема особенно удобна при симметричных телах, когда известны моменты инерции относительно осей симметрии.