В системе, состоящей из множества материальных точек, движение отдельных частиц может быть весьма сложным. Однако для описания движения системы в целом вводится понятие центра масс. Центр масс — это точка, положение которой в пространстве определяется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке.
Для системы материальных точек с массами mi и радиус-векторами ri центр масс имеет радиус-вектор:
$$ \mathbf{R} = \frac{\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^N m_i}. $$
Если обозначить общую массу системы как $M = \sum_{i=1}^N m_i$, то формула принимает вид:
$$ \mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i. $$
Это определение справедливо как для дискретных систем (набор точек), так и для сплошных тел при переходе от суммы к интегралу.
Формулировка: Производная импульса всей системы по времени равна главному вектору внешних сил.
Запишем импульс системы:
$$ \mathbf{P} = \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i. $$
Согласно второму закону Ньютона для каждой частицы:
$$ m_i \frac{d \mathbf{v}_i}{dt} = \mathbf{F}_i^{\text{внеш}} + \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}, $$
где Fiвнеш — внешние силы, действующие на частицу, а Fij — внутренние силы взаимодействия.
Суммируя уравнения для всех частиц, получаем:
$$ \frac{d\mathbf{P}}{dt} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{\text{внеш}} + \sum_{i=1}^N \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}. $$
Внутренние силы попарно сокращаются в силу третьего закона Ньютона (Fij = −Fji), и остаётся:
$$ \frac{d\mathbf{P}}{dt} = \mathbf{F}^{\text{внеш}}, $$
где $\mathbf{F}^{\text{внеш}} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{\text{внеш}}$.
Так как P = MV, где $\mathbf{V} = \dot{\mathbf{R}}$ — скорость центра масс, имеем:
$$ M \frac{d \mathbf{V}}{dt} = \mathbf{F}^{\text{внеш}}. $$
Вывод: Центр масс системы движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в нём и на неё действовала сумма всех внешних сил.
Формулировка: Производная момента импульса системы относительно центра масс равна главному моменту внешних сил относительно этой же точки.
Рассмотрим момент импульса системы относительно произвольной точки O:
$$ \mathbf{K}_O = \sum_{i=1}^N \left( \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_O \right) \times m_i \mathbf{v}_i. $$
Если выбрать в качестве точки O центр масс, то получаем:
$$ \mathbf{K}_C = \sum_{i=1}^N \left( \mathbf{r}_i - \mathbf{R} \right) \times m_i \mathbf{v}_i. $$
Дифференцируя по времени и используя уравнения движения частиц, можно показать:
$$ \frac{d\mathbf{K}_C}{dt} = \mathbf{M}_C^{\text{внеш}}, $$
где MCвнеш — главный момент внешних сил относительно центра масс.
Вывод: Относительно центра масс справедливы те же законы вращательного движения, что и для отдельного тела, на которое действуют только внешние силы.
Любое движение системы материальных точек можно представить как сумму двух частей:
Это фундаментальное разложение упрощает описание сложных движений.
Движение планет в гравитационном поле. Движение центра масс планетарной системы подчиняется закону Ньютона для материальной точки, притягиваемой Солнцем. Внутренние силы (гравитация между планетами) не влияют на траекторию центра масс.
Полёт снаряда. Форма снаряда, вращение и колебания частей не влияют на траекторию центра масс. Центр масс всегда движется по параболе в поле тяжести (если пренебречь сопротивлением воздуха).
Система взаимодействующих тел. При взрыве ракеты или разделении тел их центр масс продолжает двигаться по прежней траектории, если внешние силы остаются прежними.
Если тело рассматривается как сплошное с плотностью ρ(r), то положение центра масс определяется интегралом:
$$ \mathbf{R} = \frac{1}{M} \int_V \mathbf{r} \, \rho(\mathbf{r}) \, dV, $$
где V — объём тела.
Скорость и ускорение центра масс выражаются как:
$$ \mathbf{V} = \dot{\mathbf{R}} = \frac{1}{M} \int_V \mathbf{v} \, \rho(\mathbf{r}) \, dV, $$
$$ \mathbf{A} = \ddot{\mathbf{R}} = \frac{1}{M} \int_V \mathbf{a} \, \rho(\mathbf{r}) \, dV. $$
Таким образом, кинематическое описание центра масс для сплошных тел полностью аналогично случаю дискретной системы.