Центр масс системы частиц — это воображаемая точка, движение которой под действием внешних сил описывает движение всей системы так, как если бы её масса была сосредоточена в этой точке. Он играет фундаментальную роль в динамике, позволяя существенно упростить задачи, связанные с взаимодействием многих тел.
Для системы из N материальных точек с массами m1, m2, …, mN и радиус-векторами r⃗1, r⃗2, …, r⃗N центр масс определяется выражением
$$ \vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i, $$
где
$$ M = \sum_{i=1}^N m_i $$
— полная масса системы.
Таким образом, центр масс есть взвешенное среднее положение всех частиц, веса которых равны их массам.
Линейность: если систему разделить на подсистемы с известными центрами масс, то центр масс всей системы можно найти как взвешенное среднее из центров масс подсистем.
Независимость от выбора начала координат: при смещении системы отсчёта на вектор a⃗ положение центра масс изменяется также на a⃗. Это означает, что положение центра масс корректно определено в любой инерциальной системе.
Расположение: центр масс не обязательно совпадает с какой-либо материальной точкой. В случае тел с неоднородным распределением массы центр масс может находиться даже вне границ тела (пример — кольцо или дуга).
Для трёхмерного пространства координаты центра масс определяются как
$$ X = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i x_i, \quad Y = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i y_i, \quad Z = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i z_i, $$
где xi, yi, zi — координаты i-й частицы.
В двумерном случае аналогично:
$$ X = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i x_i, \quad Y = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i y_i. $$
При изучении динамики системы частиц удобным инструментом является теорема о движении центра масс. Пусть r⃗i(t) — положение i-й частицы, а R⃗(t) — положение центра масс. Тогда:
$$ \vec{V} = \dot{\vec{R}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i, $$
где $\vec{v}_i = \dot{\vec{r}}_i$ — скорость каждой частицы. Таким образом, скорость центра масс — это среднее значение скоростей частиц, взвешенных по их массам.
$$ \vec{P} = \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i = M \vec{V}. $$
Следовательно, полный импульс системы эквивалентен импульсу точки с массой M, движущейся со скоростью центра масс.
$$ M \ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i^{(ext)}, $$
где F⃗i(ext) — внешние силы, действующие на частицы. Внутренние силы, согласно третьему закону Ньютона, взаимно уничтожаются в сумме.
Таким образом, движение центра масс определяется только действием внешних сил, что делает его аналогом движения материальной точки с массой M.
Если система состоит из сплошного тела, то переходят от суммы к интегралу. Для распределения массы с плотностью ρ(r⃗) положение центра масс определяется как
$$ \vec{R} = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \, \rho(\vec{r}) \, dV, $$
где интеграл берётся по всему объёму тела, а масса выражается как
M = ∫Vρ(r⃗) dV.
Для однородного тела (ρ = const) центр масс совпадает с геометрическим центром фигуры.
$$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{m_2}{m_1}. $$
Это простейший пример, иллюстрирующий «баланс» масс.
Однородный стержень: центр масс находится в середине длины, так как масса распределена равномерно.
Полукруглая дуга: центр масс смещён к основанию, что демонстрирует важность интегральных вычислений при нахождении центров масс сложных фигур.
Астрономия: планеты и спутники обращаются не вокруг геометрического центра массивных тел, а вокруг общего центра масс системы. Например, Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс, находящегося внутри Земли, но не в её центре.
Механика твёрдых тел: при падении или вращении сложного тела траектория центра масс остаётся гладкой и предсказуемой, независимо от сложного движения отдельных частей.
Физика столкновений: в задачах о взаимодействиях удобно переходить в систему отсчёта центра масс, где импульсы частиц симметричны и проще анализируются.