В классической механике важное место занимает понятие циклической (или угловой) координаты, которое тесно связано с наличием интегралов движения и симметрий системы. Это фундаментальная концепция, позволяющая существенно упростить анализ движения механических систем и выделить сохраняющиеся величины.
В системе с n обобщёнными координатами q1, q2, …, qn и обобщёнными скоростями q̇1, q̇2, …, q̇n лагранжиан L(qi, q̇i, t) описывает динамику системы через уравнения Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0. $$
Циклической координатой qj называется такая координата, от которой лагранжиан не зависит явно:
$$ \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0. $$
Для таких координат выполняется ключевое свойство: соответствующий обобщённый импульс сохраняется во времени.
Обобщённый импульс, соответствующий координате qj, определяется как
$$ p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}. $$
Если qj является циклической, то уравнение Лагранжа принимает вид:
$$ \frac{d}{dt} p_j = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_j = \text{const}. $$
Это выражение является интегралом движения, то есть величиной, сохраняющейся в процессе динамики системы. Таким образом, наличие циклической координаты гарантирует существование сохраняющейся величины.
Пример:
$$ L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) $$
не зависит от x, y, z явно, следовательно, импульсы px, py, pz сохраняются.
$$ L = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(r) $$
не зависит от φ. Следовательно, момент импульса частицы относительно оси z:
$$ p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m r^2 \dot{\varphi} = \text{const}. $$
Циклические координаты тесно связаны с инвариантностью лагранжиана при трансформациях. Если лагранжиан не меняется при изменении qj → qj + δqj, это соответствует непрерывной симметрии системы, согласно теореме Нётер:
Таким образом, циклическая координата отражает симметрию по сдвигу вдоль этой координаты. Сохраняющийся импульс является математическим выражением закона сохранения, порождаемого данной симметрией.
Свободная частица в пространстве Все три координаты x, y, z циклические. Сохраняются три компоненты линейного импульса.
Цилиндрическое или сферическое движение Угол φ вокруг оси симметрии является циклической координатой, сохраняется момент импульса относительно этой оси.
Двойной маятник с независимым вращением второго маятника относительно первого Если потенциал не зависит от угла второго маятника, соответствующий угловой импульс сохраняется.
Планетарная система (центральное поле) При центральной силе лагранжиан не зависит от долготы орбиты, обеспечивая сохранение компоненты момента импульса вдоль направления силы.
Выявление циклических координат позволяет:
Сократить число уравнений движения: Каждая циклическая координата даёт первый интеграл движения, который можно подставить в другие уравнения.
Переход к пониженной системе: Например, при центральной силе вместо решения 3D задачи удобно перейти к двумерной задаче в плоскости орбиты, используя сохранение момента импульса.
Прямое интегрирование уравнений движения: Для циклической координаты q̇j = pj/m (или аналог) можно интегрировать напрямую, исключая её из системы уравнений.
Через гамильтониан H(qi, pi, t) циклическая координата qj также приводит к сохранению импульса:
$$ \frac{d}{dt} p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j} = 0 \quad \Rightarrow \quad p_j = \text{const}. $$
Таким образом, концепция циклических координат естественно переносится из лагранжевой формулировки в гамильтонову, где она тесно связана с консервативными величинами и фазовым пространством.