Упругим столкновением называют такой процесс взаимодействия тел, при котором одновременно выполняются два условия:
Данное определение противопоставляется неупругим столкновениям, где выполняется лишь первое условие, а часть механической энергии переходит во внутреннюю (деформация, тепло, звук).
Таким образом, упругое столкновение – это идеализированный процесс, при котором после взаимодействия тела расходятся, сохраняя суммарную кинетическую энергию. В реальности приближения к этому случаю можно наблюдать, например, при столкновениях атомов и молекул в газах, при взаимодействии идеально упругих шаров, а также при ударах в экспериментах с незначительными потерями энергии.
Для двух тел массами m1 и m2, имеющих скорости v1 и v2 до столкновения и v′1, v′2 после столкновения, выполняются два ключевых закона:
Закон сохранения импульса:
m1v1 + m2v2 = m1v′1 + m2v′2
Закон сохранения кинетической энергии:
$$ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v'_1)^2 + \frac{1}{2} m_2 (v'_2)^2 $$
Эти два уравнения позволяют полностью определить скорости после удара, если известны массы и скорости до удара.
В случае прямолинейного удара вдоль одной оси удобно вывести явные выражения для конечных скоростей.
Из уравнений сохранения импульса и энергии получаем:
$$ v'_1 = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} $$
$$ v'_2 = \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} $$
Эти формулы имеют широкое применение и позволяют сразу находить результат упругого столкновения.
Частные случаи:
Если массы равны (m1 = m2), то тела просто обмениваются скоростями:
v′1 = v2, v′2 = v1
Если одна масса много больше другой (m1 ≫ m2), то тяжелое тело почти не изменяет скорость, а лёгкое отражается от него, меняя направление и почти удваивая скорость относительно движущейся системы отсчёта.
В двухмерных и трёхмерных столкновениях закон сохранения импульса записывается в векторной форме:
p⃗1 + p⃗2 = p⃗′1 + p⃗′2
Сохранение кинетической энергии ограничивает возможные направления разлёта тел. Геометрически задача сводится к нахождению пересечения сфер (или окружностей в плоском случае), определяемых этими законами.
Часто для анализа вводят центр масс системы. В системе отсчёта центра масс (СЦМ) скорости частиц после упругого столкновения просто меняют своё направление на противоположное, сохраняя модуль. Это значительно упрощает расчёты и позволяет легко переходить обратно в лабораторную систему отсчёта.
Пусть в СЦМ скорости частиц до столкновения равны:
u⃗1 = v⃗1 − V⃗cm, u⃗2 = v⃗2 − V⃗cm
где $\vec{V}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$ – скорость центра масс.
После упругого столкновения:
u⃗′1 = −u⃗1, u⃗′2 = −u⃗2
Затем, возвращаясь в лабораторную систему:
v⃗′1 = u⃗′1 + V⃗cm, v⃗′2 = u⃗′2 + V⃗cm
Этот метод даёт глубокое понимание симметрии задачи и простоты в описании процесса.
Газовые молекулы. При упругих столкновениях молекул происходит перераспределение скоростей, что является основой кинетической теории газов.
Бильярдные шары. В приближении идеально упругих шаров результат удара соответствует рассмотренным формулам и объясняет закономерности отражений и передачу движения.
Ядерная и атомная физика. При рассеянии элементарных частиц на мишенях часто рассматриваются упругие процессы, где не происходит возбуждения или разрушения структуры частиц.
Таким образом, упругое столкновение представляет собой предельный случай максимально обратимого взаимодействия в механике.