Рассмотрение распространения упругих волн в стержнях представляет собой одну из центральных задач механики сплошных сред. Важность данной темы связана как с инженерными приложениями (строительные конструкции, акустические приборы, элементы машин), так и с фундаментальными вопросами динамики твердых тел. Упругие волны в стержнях возникают при малых деформациях, когда материал подчиняется закону Гука, а волновой процесс описывается дифференциальными уравнениями, выведенными на основе уравнений движения и связей между напряжениями и деформациями.
Стержень будем рассматривать как вытянутое упругое тело, у которого поперечные размеры значительно меньше продольного, что позволяет использовать одномерную аппроксимацию для описания волн вдоль оси.
Наиболее простым типом волнового движения в стержне являются продольные волны. Пусть ось стержня совпадает с осью x, а смещение частиц вдоль стержня обозначено через u(x, t). В предположении малых деформаций удлинение элемента стержня выражается через производную
$$ \varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}. $$
Согласно закону Гука продольное напряжение равно
$$ \sigma = E \varepsilon = E \frac{\partial u}{\partial x}, $$
где E — модуль Юнга материала.
Сила, действующая на элемент длины Δx, определяется как разность напряжений на его концах:
$$ F = A \left(\sigma(x+\Delta x) - \sigma(x)\right) \approx A \frac{\partial \sigma}{\partial x} \Delta x, $$
где A — площадь поперечного сечения стержня.
Уравнение движения элемента массы ρAΔx имеет вид:
$$ \rho A \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = A \frac{\partial \sigma}{\partial x} \Delta x. $$
Подставив выражение для σ, получим волновое уравнение:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, $$
где скорость продольной волны в стержне равна
$$ c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}. $$
Таким образом, скорость зависит только от свойств материала — модуля Юнга и плотности, но не зависит от геометрии сечения.
Более сложным случаем является распространение изгибных волн. Пусть стержень закреплен вдоль оси x, а его смещения происходят в поперечном направлении y. Тогда отклонение оси стержня описывается функцией w(x, t).
Для тонкого стержня используется гипотеза Эйлера–Бернулли: поперечное сечение стержня остается плоским и перпендикулярным к деформированной оси. Изгибающий момент связан с кривизной оси:
$$ M = -EI \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}, $$
где I — момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси.
Равновесие для элемента стержня с учетом изгиба дает дифференциальное уравнение:
$$ \rho A \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = 0. $$
Это уравнение не является классическим волновым уравнением, так как скорость распространения изгибной волны зависит от частоты:
$$ \omega^2 = \frac{EI}{\rho A} k^4, $$
где k — волновое число.
Фазовая скорость равна:
$$ v_f = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} \, k, $$
а групповая скорость:
$$ v_g = \frac{d\omega}{dk} = 2\sqrt{\frac{EI}{\rho A}} \, k. $$
Таким образом, изгибные волны являются дисперсионными, что резко отличает их от продольных волн.
В стержнях также могут распространяться крутильные волны, при которых каждое поперечное сечение вращается вокруг продольной оси. Пусть угол закручивания φ(x, t). Тогда крутящий момент определяется как
$$ T = GJ \frac{\partial \varphi}{\partial x}, $$
где G — модуль сдвига, а J — полярный момент инерции сечения.
Уравнение движения имеет вид:
$$ \rho J_p \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = GJ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}, $$
где $J_p = \frac{J}{A}$ — приведенный момент инерции.
Результатом является волновое уравнение:
$$ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = c_\tau^2 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}, $$
с фазовой скоростью
$$ c_\tau = \sqrt{\frac{G}{\rho}}. $$
Крутильные волны аналогичны продольным по математической форме, но скорость зависит от модуля сдвига, а не от модуля Юнга.
При распространении волн в стержне важную роль играют условия на концах. Для продольных волн:
В случае изгибных волн закрепление может быть жёстким (нуль смещения и угла поворота) или шарнирным (нуль смещения и изгибающего момента).
При наличии отражений волн от концов возникают стоячие волны, амплитуда которых зависит от соотношения падающих и отражённых волн. Резонансные частоты определяются из граничных условий и приводят к характерным гармоническим модам колебаний стержня.
Энергия волны в стержне делится на кинетическую и потенциальную. Для продольных волн плотность кинетической энергии равна
$$ w_k = \tfrac{1}{2} \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2, $$
а потенциальной
$$ w_p = \tfrac{1}{2} E \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2. $$
Средний поток энергии через поперечное сечение характеризуется величиной, аналогичной вектору Пойнтинга в электродинамике, и равен произведению напряжения на скорость частиц.
Упругие волны в стержнях имеют широкие применения:
Таким образом, изучение упругих волн в стержнях является важным разделом механики, связывающим фундаментальные теории с практическими инженерными задачами.