Упругость твердых тел

Упругость твердых тел характеризует их способность возвращаться к первоначальной форме и размерам после снятия внешнего воздействия. В механике этот процесс описывается через деформации и соответствующие им напряжения.

  • Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил.
  • Напряжение — внутренняя сила, возникающая в материале для сопротивления деформации.

Различают объемные, осевые и сдвиговые деформации. Каждому виду деформации соответствует свой тип напряжений.

Закон Гука и его обобщения

Для малых деформаций тело демонстрирует линейную зависимость между напряжением и деформацией. Этот принцип выражается законом Гука:

σ = Eε

где σ — напряжение, ε — относительная деформация, E — модуль упругости (модуль Юнга) материала.

Ключевые моменты:

  • Закон Гука применим лишь для малых деформаций.
  • Модуль Юнга характеризует жесткость материала.

Для объемных деформаций вводят объемный модуль упругости K, а для сдвиговых — модуль сдвига G. Связь между ними обеспечивается формулой:

E = 2G(1 + ν)

где ν — коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие при осевой деформации.

Деформации и напряжения

Осевые деформации возникают при действии сил вдоль оси тела (растяжение или сжатие). Напряжение в этом случае определяется как:

$$ \sigma = \frac{F}{S} $$

где F — сила, действующая перпендикулярно поперечному сечению, S — площадь сечения.

Сдвиговые деформации характеризуются изменением формы без изменения объема:

τ = Gγ

где τ — касательное напряжение, γ — угол сдвига.

Объемные деформации описываются через относительное изменение объема:

$$ \Delta V / V = - \frac{p}{K} $$

где p — внешнее давление.

Закон сохранения энергии в упругих деформациях

В упругом теле работа внешних сил преобразуется в потенциальную энергию упругости:

$$ U = \frac{1}{2} \sigma \varepsilon V $$

для осевых деформаций.

Для системы с сдвиговыми деформациями:

$$ U = \frac{1}{2} \tau \gamma V $$

Энергия упругости всегда положительна и зависит от объема тела, модуля упругости и величины деформации.

Анизотропия и изотропия материалов

  • Изотропные материалы имеют одинаковые упругие свойства во всех направлениях.
  • Анизотропные материалы демонстрируют различие модулей упругости в разных направлениях, что важно для кристаллов и композитов.

В анизотропных телах деформации и напряжения связаны через тензорные уравнения:

σij = Cijklεkl

где Cijkl — тензор упругих постоянных, отражающий симметрию материала.

Пластические пределы и пределы упругости

Материал при увеличении нагрузки перестает подчиняться закону Гука, что характеризуется пределом упругости.

  • До этого предела деформация полностью обратима.
  • После достижения предела упругости появляются пластические деформации, которые не исчезают после снятия нагрузки.

Важное замечание: предел упругости зависит от температуры, скорости нагружения и характера материала.

Виды напряженного состояния

Трёхмерное напряженное состояние описывается тензором напряжений σij. Выделяют основные типы:

  1. Одноосное растяжение/сжатие — сила действует вдоль одной оси.
  2. Билатеральное растяжение — нагрузки в двух перпендикулярных направлениях.
  3. Объемное сжатие — давление одинаково во всех направлениях.
  4. Сдвиговое напряжение — деформация без изменения объема.

Уравнения равновесия и движения упругого тела

Для тела с упругими свойствами справедливы уравнения Ламе:

$$ \rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i $$

где ρ — плотность, ui — компоненты перемещения, fi — внешние силы, σij — тензор напряжений.

Эти уравнения являются основой для теории упругости, решения которых позволяют определить поля деформаций и напряжений в теле при заданных внешних воздействиях.

Волны в упругих телах

В упругих средах возможна деформация, распространяющаяся как волна. Различают:

  • Продольные волны: смещения вдоль направления распространения, скорость $c_l = \sqrt{E/\rho}$ для стержня.
  • Поперечные волны: смещения перпендикулярны направлению распространения, скорость $c_t = \sqrt{G/\rho}$.

Ключевой момент: скорость волны зависит от модулей упругости и плотности материала. В трехмерных телах распространение волн более сложное, учитывающее анизотропию и граничные условия.

Примеры практического применения

  1. Инженерные конструкции — расчет мостов, зданий, самолетов, где необходимо учитывать пределы упругости и распределение напряжений.
  2. Механика материалов — определение деформаций при растяжении, сжатии, кручении.
  3. Сейсмология — распространение упругих волн в земной коре.
  4. Микро- и наноразмерные системы — изучение упругих свойств тонких пленок и кристаллов.
Оглавление