Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является фундаментальным выражением в гидродинамике и аэродинамике, отражающим закон сохранения энергии для движущейся идеальной несжимаемой жидкости. Оно связывает давление, кинетическую и потенциальную энергию единицы объёма жидкости в потоке. Это уравнение можно рассматривать как частный случай более общего закона сохранения энергии, применённого к элементу жидкости.

При выводе уравнения Бернулли делаются следующие предположения:

  1. Жидкость идеальная – отсутствуют вязкость и теплопередача.
  2. Жидкость несжимаемая – плотность постоянна.
  3. Рассматривается стационарное течение – параметры потока не изменяются во времени в фиксированных точках пространства.
  4. Движение изучается вдоль линии тока – траектории движения бесконечно малого объёма жидкости.

Вывод уравнения

Рассмотрим движение малого объёма жидкости вдоль линии тока. На этот элемент действуют:

  • силы давления со стороны соседних объёмов;
  • силы тяжести.

Если элемент массы dm = ρ dV движется вдоль линии тока, то работа внешних сил преобразуется в изменение кинетической энергии:

δA = dEk.

Работа сил давления на элементе жидкости вдоль линии тока выражается как:

δAp = −dp ⋅ dV,

где dp – изменение давления. Работа силы тяжести учитывается через изменение потенциальной энергии:

δAg = −ρg dz ⋅ dV.

Суммируя вклады и приравнивая к изменению кинетической энергии $\frac{1}{2} \rho v^2$, получаем:

dp + ρg dz + ρv dv = 0.

Интегрирование вдоль линии тока даёт:

$$ \frac{p}{\rho} + gz + \frac{v^2}{2} = \text{const}. $$

Умножая на плотность ρ, получаем привычную форму уравнения Бернулли:

$$ p + \rho g z + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{const}. $$

Физический смысл

Уравнение Бернулли показывает, что сумма трёх видов энергии в единице объёма жидкости остаётся постоянной вдоль линии тока:

  1. Давление p — энергия взаимодействия жидкости с соседними элементами, давление “сохраняет” статический вклад.
  2. Потенциальная энергия ρgz — определяется положением в гравитационном поле.
  3. Кинетическая энергия $\frac{1}{2}\rho v^2$ — зависит от скорости течения.

Таким образом, если скорость потока возрастает, давление должно снижаться, и наоборот. Это лежит в основе множества практических эффектов.

Варианты записи

Иногда уравнение Бернулли записывают в форме, удобной для гидравлики:

$$ \frac{p}{\rho g} + z + \frac{v^2}{2g} = H, $$

где H — полный напор жидкости, величина, имеющая размерность длины. Такой вид особенно удобен для инженерных расчётов.

Применения уравнения Бернулли

  1. Гидравлика трубопроводов. Уравнение позволяет рассчитывать распределение скоростей и давлений в трубах, определять высоту подъёма жидкости и требуемую мощность насосов.

  2. Аэродинамика. На крыле самолёта профиль устроен так, что поток сверху движется быстрее, чем снизу, что создаёт разность давлений и подъёмную силу.

  3. Вентури-труба. Сужение трубопровода вызывает рост скорости жидкости и падение давления. Это используется для измерения расхода и скорости потока.

  4. Эффект Бернулли в струях. Поток жидкости, вытекающий из сопла, может создавать зону пониженного давления, что объясняет явление подсасывания газа или жидкости в смесителях.

  5. Природные явления. Ветер между домами, вихри, разность давления при движении воздушных масс в атмосфере — все эти эффекты подчиняются закону Бернулли.

Ограничения

Несмотря на универсальность, уравнение Бернулли применимо лишь в пределах сделанных допущений:

  • Для вязких жидкостей возникают потери энергии на трение, и уравнение требует введения поправочных коэффициентов.
  • В случае сжимаемых газов необходимо учитывать изменение плотности, особенно при больших скоростях (число Маха  > 0.3).
  • Для нестационарных потоков формула в таком виде неприменима, и используются более общие уравнения гидродинамики.

Практические примеры

  • При поливе из шланга, если прижать сопло пальцем, сечение уменьшается, скорость струи возрастает, а давление внутри падает.
  • В карбюраторах двигателей внутреннего сгорания снижение давления в узкой части трубки засасывает топливо, создавая топливно-воздушную смесь.
  • В спортивных мячах вращение изменяет распределение скоростей воздуха с разных сторон поверхности, что вызывает эффект Магнуса и искривление траектории.
Оглавление