В механике сплошных сред одним из основных уравнений, описывающих движение жидкости и газа, является уравнение неразрывности. Оно выражает закон сохранения массы в потоке и устанавливает строгую связь между плотностью, скоростью движения и изменением объёма элементов среды.
Масса вещества в любом объёме сохраняется при условии отсутствия источников или стоков вещества. Пусть рассматривается произвольный фиксированный в пространстве контрольный объём V, ограниченный поверхностью S. Масса в этом объёме определяется как
$$ m = \int\limits_V \rho \, dV, $$
где ρ — плотность среды в данной точке.
Изменение массы во времени должно быть связано с потоками массы через поверхность:
$$ \frac{d}{dt} \int\limits_V \rho \, dV = - \oint\limits_S \rho \vec{v} \cdot d\vec{S}, $$
где v⃗ — вектор скорости, а dS⃗ — элемент поверхности, направленный наружу.
Используя теорему Остроградского — Гаусса, поверхностный интеграл преобразуется в объёмный:
$$ \oint\limits_S \rho \vec{v} \cdot d\vec{S} = \int\limits_V \nabla \cdot (\rho \vec{v}) \, dV. $$
Подставляя это выражение в закон сохранения массы, получаем:
$$ \frac{d}{dt} \int\limits_V \rho \, dV = - \int\limits_V \nabla \cdot (\rho \vec{v}) \, dV. $$
Так как объём V произволен, подынтегральные выражения должны быть равны, и отсюда следует дифференциальная форма уравнения неразрывности:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0. $$
Уравнение утверждает, что любое уменьшение плотности в фиксированном объёме компенсируется выносом массы из него, и наоборот.
Для несжимаемой среды плотность ρ = const. В таком случае уравнение упрощается:
∇ ⋅ v⃗ = 0.
Это условие означает, что поле скоростей в несжимаемой жидкости является безрасходным: объёмные элементы сохраняют свой объём при движении.
Рассмотрим поток жидкости в трубе переменного сечения. В стационарном режиме $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$, и уравнение неразрывности принимает вид:
ρ1v1A1 = ρ2v2A2,
где A — площадь поперечного сечения трубы, v — скорость потока, индексы относятся к разным сечениям трубы.
v1A1 = v2A2.
Это означает, что при уменьшении сечения скорость увеличивается, что наблюдается, например, в соплах и струйных установках.
Уравнение неразрывности можно записать и в форме, связанной с материальной производной:
$$ \frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec{v} = 0, $$
где
$$ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla $$
— материальная производная, описывающая изменение величины при движении с потоком.
Физический смысл: изменение плотности, наблюдаемое в системе отсчёта, движущейся вместе с частицей среды, зависит от сжимаемости потока (от ∇ ⋅ v⃗).