Система частиц — это совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой и с внешними телами. Каждая частица характеризуется массой mi, радиус-вектором положения ri(t) и скоростью vi(t). Движение системы в целом определяется совместным действием внешних сил и внутренних сил взаимодействия между частицами.
Главная задача классической механики для системы частиц заключается в нахождении уравнений, описывающих эволюцию всех координат ri(t). Эти уравнения строятся на основе второго закона Ньютона, применяемого к каждой частице системы.
Для i-й частицы уравнение имеет вид:
$$ m_i \frac{d^2 \mathbf{r}_i}{dt^2} = \mathbf{F}_i^{(внеш)} + \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}, $$
где
Таким образом, для системы из N частиц получаем систему из 3N дифференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения являются фундаментальной основой для описания динамики.
Силы взаимодействия частиц подчиняются третьему закону Ньютона:
Fij = −Fji.
Это условие играет важную роль при анализе уравнений движения системы в целом. Благодаря симметрии внутренних сил оказывается, что они взаимно сокращаются в выражениях для полного импульса и момента импульса системы.
Для анализа движения всей системы удобно ввести центр масс:
$$ \mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i, $$
где $M = \sum_{i=1}^N m_i$ — полная масса системы.
Умножим уравнение движения каждой частицы на её массу и просуммируем:
$$ \sum_{i=1}^N m_i \frac{d^2 \mathbf{r}_i}{dt^2} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{(внеш)} + \sum_{i=1}^N \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{ij}. $$
Второй член (сумма внутренних сил) равен нулю, так как силы взаимодействия попарно сокращаются. Получаем:
$$ M \frac{d^2 \mathbf{R}}{dt^2} = \mathbf{F}^{(внеш)}_{сист}, $$
где $\mathbf{F}^{(внеш)}_{сист} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{(внеш)}$.
Ключевой результат: центр масс системы движется так, как если бы вся масса M была сосредоточена в нём и на неё действовала только результирующая внешняя сила.
Для описания движения частиц относительно центра масс вводится переменная
ri′ = ri − R.
Подстановка в уравнения Ньютона показывает, что относительное движение определяется внутренними силами и зависит от вида взаимодействия между частицами. Это разделение движения на поступательное (движение центра масс) и внутреннее (относительное) является важным инструментом анализа.
Хотя уравнения Ньютона формально дают решение задачи, для практических целей они часто неудобны из-за громоздкости. Более элегантный и универсальный способ формулировки — переход к лагранжевой или гамильтоновой форме.
Для системы с n степенями свободы, характеризуемой обобщёнными координатами qk, функция Лагранжа определяется как
L(qk, q̇k, t) = T − U,
где T — кинетическая энергия, U — потенциальная энергия.
Уравнения движения имеют вид:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0, \quad k = 1, \dots, n. $$
Эти уравнения автоматически учитывают связи и позволяют эффективно описывать сложные системы.
Вместо координат и скоростей удобно использовать обобщённые координаты qk и канонические импульсы
$$ p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}. $$
Гамильтониан определяется как
$$ H(q_k, p_k, t) = \sum_{k=1}^n p_k \dot{q}_k - L. $$
Уравнения движения принимают вид:
$$ \dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}, \quad \dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k}. $$
Эта форма особенно удобна при анализе симметрий, законов сохранения и при переходе к квантовой механике.
Из уравнений движения системы частиц непосредственно следуют фундаментальные законы сохранения:
Закон сохранения импульса Если результирующая внешняя сила равна нулю, то полный импульс системы
$$ \mathbf{P} = \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i $$
сохраняется.
Закон сохранения момента импульса При отсутствии внешнего момента сил относительно некоторой точки сохраняется полный момент импульса:
$$ \mathbf{L} = \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{v}_i. $$
Закон сохранения энергии Если силы консервативны и система изолирована, то сохраняется полная механическая энергия:
E = T + U.
В реальных задачах частицы часто не могут двигаться произвольно: на них накладываются геометрические или кинематические связи (жёсткие стержни, поверхности, нерастяжимые нити). Эти связи уменьшают число независимых координат.
Использование обобщённых координат позволяет формулировать уравнения движения в минимальной системе переменных, что существенно упрощает анализ. Лагранжева и гамильтонова формулировки дают естественный способ учёта связей и нахождения уравнений движения даже для сложных механических систем.