Лагранжева механика является мощным инструментом классической механики, позволяющим описывать движение систем с множеством степеней свободы через скалярные величины, а не через векторные уравнения Ньютона. Основной объект теории — функция Лагранжа L, которая определяется как разность кинетической и потенциальной энергии системы:
L(qi, q̇i, t) = T(qi, q̇i, t) − V(qi, t),
где qi — обобщённые координаты, q̇i — соответствующие обобщённые скорости, T — кинетическая энергия, V — потенциальная энергия.
Ключевая идея Лагранжа состоит в том, что динамика системы определяется принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона:
δS = δ∫t1t2L(qi, q̇i, t) dt = 0.
В результате вариационного метода получаются уравнения Лагранжа второго рода:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1, \dots, n, $$
где n — число степеней свободы системы.
Обобщённые координаты qi выбираются так, чтобы максимально упростить описание системы. Они могут быть угловыми, линейными или другими параметрами, которые полностью задают конфигурацию. Пример:
Использование обобщённых координат позволяет легко учитывать связи и ограничения, которые могут быть сложны при прямом применении законов Ньютона.
Кинетическая энергия T выражается через обобщённые скорости:
$$ T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} m_{ij}(q_1, \dots, q_n) \dot{q}_i \dot{q}_j, $$
где mij — элементы матрицы инерции системы, зависящие от конфигурации. В простых случаях, например, для материальной точки с массой m:
$$ T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2). $$
Для систем с вращением используется момент инерции I:
$$ T = \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2. $$
Потенциальная энергия V(qi, t) описывает консервативные силы, действующие на систему. Примеры:
Для неконсервативных сил, таких как трение, применяются обобщённые силы Qi, добавляемые в правую часть уравнений Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i. $$
Обозначим угол отклонения маятника как θ, длину нити — l, массу — m. Тогда:
$$ T = \frac{1}{2} m (l \dot{\theta})^2 = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2, \quad V = m g l (1 - \cos\theta). $$
Функция Лагранжа:
$$ L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - m g l (1 - \cos\theta). $$
Применяя уравнение Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} (m l^2 \dot{\theta}) + m g l \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0. $$
Это стандартное уравнение движения маятника.
Для двойного маятника с углами θ1, θ2 уравнения Лагранжа становятся системой двух связанных дифференциальных уравнений:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_1} - \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = 0, \quad \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_2} - \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = 0. $$
Эта система может быть решена аналитически в малых отклонениях или численно в общем случае, демонстрируя хаотическое поведение.
Уравнения Лагранжа полностью эквивалентны законам Ньютона, но обладают рядом преимуществ:
Например, если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то сохраняется энергия:
$$ E = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L. $$
Если L не зависит от некоторой координаты qj, то сохраняется соответствующая обобщённая импульсная величина:
$$ p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \text{const}. $$
Для систем с внешними или диссипативными силами уравнения Лагранжа дополняются обобщёнными силами Qi:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i. $$
Примеры:
Таким образом, формализм Лагранжа универсален и применим не только к консервативным, но и к более сложным физическим системам.
Лагранжева механика образует фундамент для дальнейших разделов теоретической физики, включая Гамильтонову формализацию, квантовую механику и теорию поля, обеспечивая единый подход к анализу движения физических систем.