Вариационное исчисление является фундаментальным инструментом классической механики, позволяющим получать уравнения движения физических систем на основе принципов экстремума функционалов. Классическим примером является принцип наименьшего действия Лагранжа, который утверждает, что физическая система движется таким образом, что функционал действия достигает экстремума.
Функционал действия S определяется как интеграл от лагранжиана L системы по времени:
S[q(t)] = ∫t1t2L(q, q̇, t) dt,
где q(t) — обобщённые координаты системы, q̇ = dq/dt — скорости, L(q, q̇, t) = T − V — лагранжиан, разность кинетической и потенциальной энергии.
Задача вариационного исчисления состоит в нахождении таких функций q(t), при которых функционал S принимает экстремальное значение.
Для исследования экстремума функционала вводят малое возмущение δq(t), удовлетворяющее граничным условиям δq(t1) = δq(t2) = 0. Введём вариацию функционала:
δS = S[q(t) + δq(t)] − S[q(t)].
Разложение по первому порядку в δq даёт:
$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt. $$
С помощью интегрирования по частям второго слагаемого и учёта δq(t1) = δq(t2) = 0 получаем уравнение Эйлера — Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0. $$
Это центральный результат вариационного исчисления в механике. Он позволяет перейти от принципа экстремума действия к дифференциальным уравнениям движения.
Для системы с n степенями свободы лагранжиан зависит от обобщённых координат qi и скоростей q̇i, i = 1, 2, ..., n:
L = L(q1, q2, ..., qn, q̇1, q̇2, ..., q̇n, t).
Тогда система уравнений Эйлера — Лагранжа имеет вид:
$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1,2,...,n. $$
Эти уравнения позволяют решать широкий круг механических задач: движение точечных частиц, твёрдых тел, системы с ограничениями.
Если система подчинена гипотетическим ограничениям, которые можно выразить как fj(q1, ..., qn, t) = 0, применяют метод Лагранжа множителей. Вводится модифицированный лагранжиан:
L* = L + ∑jλjfj(q1, ..., qn, t),
где λj — Лагранжевы множители. Уравнения Эйлера — Лагранжа для L* дают движение системы с учётом ограничений.
1. Свободная частица:
Лагранжиан: $L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$. Уравнение Эйлера — Лагранжа: $\frac{d}{dt}(m \dot{x}) = 0 \Rightarrow \ddot{x} = 0$, что соответствует прямолинейному равномерному движению.
2. Гармонический осциллятор:
Лагранжиан: $L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2$. Уравнение Эйлера — Лагранжа: $m \ddot{x} + k x = 0$, классическое дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Формулировка Гамильтона обобщает принцип наименьшего действия, утверждая, что реальная траектория системы делает стационарным функционал действия. С помощью вариационного исчисления можно переходить к гамильтоновой форме механики, где динамика задаётся через координаты qi и канонические импульсы pi = ∂L/∂q̇i.