Векторная алгебра и векторное исчисление

Векторная алгебра является фундаментальной частью классической механики, позволяя описывать движения, силы и другие физические величины, имеющие направление и величину.

Вектор — это математический объект, характеризующийся модулем (длиной) и направлением. В физике векторами часто обозначают перемещение, скорость, ускорение и силу.

  • Обозначение: вектор обычно записывается как A⃗ или A.
  • Модуль вектора: $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ для трехмерного пространства.
  • Единичный вектор: вектор единичной длины, направленный вдоль данного вектора, определяется как $\hat{\mathbf{A}} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$.

Операции с векторами

Сложение и вычитание векторов

  • Геометрический способ: параллелограмм или последовательное переносное соединение.
  • Алгебраический способ: сложение компонент

C⃗ = A⃗ + B⃗ ⟹ Cx = Ax + Bx,  Cy = Ay + By,  Cz = Az + Bz

Вычитание аналогично: C⃗ = A⃗ − B⃗.

Умножение на скаляр

  • Умножение вектора на число λ изменяет его длину, сохраняя или меняя направление:

B⃗ = λA⃗,  |B⃗| = |λ||A⃗|

Скалярное произведение (dot product)

A⃗ ⋅ B⃗ = |A⃗||B⃗|cos θ

  • θ — угол между векторами.

  • Свойства:

    • Коммутативность: A⃗ ⋅ B⃗ = B⃗ ⋅ A⃗
    • Линейность: A⃗ ⋅ (B⃗ + C⃗) = A⃗ ⋅ B⃗ + A⃗ ⋅ C⃗

  • Используется для вычисления работы силы: W = F⃗ ⋅ s⃗.

Векторное произведение (cross product)

$$ \vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta \, \hat{\mathbf{n}} $$

  • $\hat{\mathbf{n}}$ — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной A⃗ и B⃗, направление определяется правилом правой руки.

  • Свойства:

    • Антикоммутативность: A⃗ × B⃗ = −(B⃗ × A⃗)
    • Линейность по каждой компоненте.

  • Применение: момент силы, магнитная сила на заряд.

Векторное исчисление

Градиент

Градиент скалярного поля ϕ(r⃗) — векторное поле, указывающее направление наибольшего роста функции:

$$ \vec{\nabla} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{\mathbf{i}} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{\mathbf{j}} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{\mathbf{k}} $$

  • Физический смысл: направление наибольшего увеличения потенциала, модуль — скорость изменения.

Дивергенция

Дивергенция векторного поля A⃗(r⃗) показывает, насколько поле “расходится” в данной точке:

$$ \text{div}\,\vec{A} = \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} $$

  • Применение: поток жидкости, распределение источников силы.

Ротор

Ротор (curl) показывает, как поле “крутится” вокруг точки:

$$ \text{rot}\,\vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} $$

  • Физический смысл: локальная циркуляция поля, например, в механике жидкости и электромагнетизме.

Линейная зависимость и базис

  • Векторы A⃗1, A⃗2, A⃗3 в трехмерном пространстве образуют базис, если они линейно независимы.
  • Любой вектор V⃗ можно разложить по базису:

V⃗ = V1e⃗1 + V2e⃗2 + V3e⃗3

Применение в классической механике

  • Сила и ускорение: F⃗ = ma⃗
  • Момент силы: M⃗ = r⃗ × F⃗
  • Импульс: p⃗ = mv⃗
  • Энергия: работа δW = F⃗ ⋅ dr⃗

Векторная алгебра и векторное исчисление создают универсальный язык для описания физических процессов в механике, позволяя переходить от простых задач движения частиц к сложным системам, включая вращение, движение твёрдых тел и динамику жидкостей.

Оглавление