Волны на поверхности жидкости

Волны на поверхности жидкости представляют собой механические колебания, распространяющиеся по границе раздела жидкой и газообразной среды. Их природа определяется взаимодействием сил гравитации, инерции и поверхностного натяжения. В зависимости от масштаба возмущений различают гравитационные волны, капиллярные волны, а также гравитационно-капиллярные волны, где совместно действуют оба фактора.

Поверхность жидкости можно рассматривать как динамическую систему, подверженную колебаниям вследствие внешних или внутренних воздействий: ветра, вибраций, падения тел, движения судов. Такие возмущения создают области повышенного и пониженного давления, формируя бегущие или стоячие волны.

Уравнения движения и линейная теория волн

Для описания волн используют приближение несжимаемой и невязкой жидкости. Основные уравнения базируются на уравнении Эйлера и условиях на границе раздела жидкость–воздух.

Скоростное поле жидкости удобно выражать через потенциал скорости

v⃗ = ∇φ,

где φ(x, y, t) удовлетворяет уравнению Лапласа:

∇2φ = 0.

На свободной поверхности накладываются два условия:

  1. Кинематическое условие: частицы жидкости, находящиеся на поверхности, остаются на ней:

$$ \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial \varphi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta}, $$

где η(x, t) — функция профиля поверхности.

  1. Динамическое условие: давление на поверхности определяется с учётом атмосферного давления, гравитации и поверхностного натяжения:

p = pатм − ρgη + σ∇2η,

где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, σ — коэффициент поверхностного натяжения.

Дисперсионное соотношение

Рассмотрим малые возмущения поверхности в виде гармонической волны:

η(x, t) = acos (kx − ωt),

где a — амплитуда, k — волновое число, ω — угловая частота.

Анализ приводит к дисперсионному соотношению:

$$ \omega^2 = gk + \frac{\sigma}{\rho}k^3. $$

  • При больших длинах волн (k → 0) доминирует гравитационный член:

ω2 ≈ gk,

и формируются гравитационные волны.

  • При малых длинах волн (k → ∞) существенен вклад поверхностного натяжения:

$$ \omega^2 \approx \frac{\sigma}{\rho}k^3, $$

и возникают капиллярные волны.

Таким образом, характер колебаний определяется конкуренцией двух сил: тяжести и поверхностного натяжения.

Фазовая и групповая скорость

Для бегущих волн важны два понятия:

  • Фазовая скорость:

$$ v_{\text{ф}} = \frac{\omega}{k}, $$

  • Групповая скорость:

$$ v_{\text{гр}} = \frac{d\omega}{dk}. $$

Для гравитационных волн фазовая скорость зависит от длины волны:

$$ v_{\text{ф}} = \sqrt{\frac{g}{k}}. $$

Групповая скорость оказывается в два раза меньше фазовой:

$$ v_{\text{гр}} = \frac{1}{2} v_{\text{ф}}. $$

Для капиллярных волн фазовая и групповая скорости отличаются более сложным соотношением, и при уменьшении длины волны они возрастают.

Глубокая и мелкая вода

При описании волн вводят условие на глубину h жидкости относительно длины волны λ = 2π/k:

  • Глубокая вода: h ≫ λ. В этом случае движение жидкости экспоненциально затухает с глубиной, и энергия волны сосредоточена вблизи поверхности.

  • Мелкая вода: h ≪ λ. Волнение распространяется по всему объёму жидкости, и движение частиц носит почти поступательный характер.

Для волн на мелкой воде дисперсионное соотношение упрощается:

ω2 = gktanh (kh).

При kh ≪ 1:

$$ \omega \approx \sqrt{gh}\,k, $$

и фазовая скорость перестаёт зависеть от длины волны:

$$ v_{\text{ф}} = v_{\text{гр}} = \sqrt{gh}. $$

Движение частиц в волне

Траектории частиц жидкости в волнах имеют замкнутый характер:

  • Для глубокой воды частицы совершают почти круговые орбиты, амплитуда движения убывает с глубиной.
  • Для мелкой воды траектории становятся вытянутыми эллипсами, переходящими в горизонтальные колебания у дна.

Таким образом, волна не переносит вещество на большие расстояния, а лишь вызывает локальные колебания среды, сопровождающиеся переносом энергии.

Нелинейные эффекты

В линейной теории предполагается малая амплитуда, однако при увеличении высоты волн проявляются нелинейные явления:

  • асимметрия профиля (крутые гребни и пологие впадины);
  • возможность разрушения волны (образование боя);
  • взаимодействие волн разной длины и амплитуды.

Особый интерес представляет солитон — устойчивая локализованная волна, распространяющаяся без изменения формы. Его существование объясняется балансом нелинейности и дисперсии.

Энергия волн

Энергия волны складывается из:

  1. Кинетической энергии движения частиц,
  2. Потенциальной энергии деформации поверхности.

Средняя энергия на единицу площади поверхности равна:

$$ E = \frac{1}{2}\rho g a^2, $$

что показывает квадратичную зависимость от амплитуды.

Энергия переносится с групповой скоростью, а не с фазовой. Это определяет характер передачи возмущений и мощность волнения на больших расстояниях.

Практическое значение

Исследование волн на поверхности жидкости имеет фундаментальное и прикладное значение:

  • прогнозирование морских штормов и безопасности судоходства;
  • инженерные расчёты при строительстве гидротехнических сооружений;
  • изучение процессов обмена между океаном и атмосферой;
  • объяснение механизмов разрушения береговых линий и образования наносов.

Таким образом, волны на поверхности жидкости представляют собой богатую и сложную область классической механики, соединяющую строгие уравнения гидродинамики с реальными физическими процессами в природе.

Оглавление