При движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает окружность с центром на этой оси. Все точки обладают одинаковой угловой скоростью, хотя линейные скорости различны и пропорциональны расстоянию от оси.
Угловая скорость
$$ \omega = \frac{d\varphi}{dt}, $$
где φ — угол поворота тела относительно начального положения.
Угловое ускорение
$$ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt}. $$
Если ω = const, движение равномерное; если ε ≠ 0, то движение равноускоренное.
Для точки, находящейся на расстоянии r от оси:
$$ v = \omega r, \quad a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}, \quad a_\tau = \varepsilon r, \quad a_n = \omega^2 r. $$
Таким образом, линейные характеристики связаны с угловыми через радиус вращения.
Динамика вращательного движения описывается основным уравнением динамики вращательного движения:
M = Iε,
где M — главный момент внешних сил относительно оси вращения, I — момент инерции тела относительно этой оси, ε — угловое ускорение.
Момент силы определяется как
M = F ⋅ d,
где F — сила, а d — её плечо относительно оси.
Таким образом, аналогом закона Ньютона F = ma в случае вращения является связь момента сил с моментом инерции и угловым ускорением.
Момент инерции — ключевая характеристика, описывающая распределение массы тела относительно оси вращения:
I = ∫r2 dm.
Для дискретной системы:
I = ∑imiri2,
где mi — масса i-й точки, ri — её расстояние от оси.
Примеры:
$$ I = \frac{1}{3} mL^2. $$
$$ I = \frac{1}{12} mL^2. $$
$$ I = \frac{1}{2} mR^2. $$
I = mR2.
Момент инерции играет в механике ту же роль, что и масса при поступательном движении.
Для переноса оси вращения используется теорема Штейнера:
I = Ic + md2,
где Ic — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, d — расстояние между осями.
Эта теорема существенно облегчает вычисления при рассмотрении сложных тел.
Кинетическая энергия вращательного движения:
$$ T = \frac{1}{2} I \omega^2. $$
Если тело одновременно совершает поступательное и вращательное движение, то полная энергия равна сумме поступательной и вращательной:
$$ T = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2. $$
Это особенно важно при рассмотрении катящихся тел.
Работа момента силы при повороте тела на угол φ:
A = Mφ,
если момент постоянен.
Мгновенная мощность:
N = Mω.
Таким образом, мощность равна произведению момента силы на угловую скорость — аналог закона N = Fv в поступательном движении.
Если ε = const, то движение аналогично равноускоренному поступательному:
ω = ω0 + εt,
$$ \varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \varepsilon t^2. $$
Эти уравнения описывают изменение угловых координат и скоростей с течением времени.
| Поступательное движение | Вращательное движение вокруг оси |
|---|---|
| s — путь | φ — угол поворота |
| $v = \frac{ds}{dt}$ | $\omega = \frac{d\varphi}{dt}$ |
| $a = \frac{dv}{dt}$ | $\varepsilon = \frac{d\omega}{dt}$ |
| F = ma | M = Iε |
| $T = \tfrac{1}{2} mv^2$ | $T = \tfrac{1}{2} I \omega^2$ |
| A = Fs | A = Mφ |
| N = Fv | N = Mω |
Такое сравнение показывает полную аналогию между поступательным и вращательным движением.