Рассматривая реальное движение жидкостей, необходимо учитывать их внутреннее трение, возникающее при перемещении соседних слоёв с различными скоростями. Эта особенность называется вязкостью. Вязкость обусловлена взаимодействием молекул и выражается в том, что движение одного слоя относительно другого сопровождается силами сопротивления, направленными против относительного смещения.
Если в невязкой жидкости давление полностью определяет силы, действующие на малый объём, то в вязкой жидкости появляется дополнительное напряжение, связанное с градиентом скорости. Таким образом, динамика реальной жидкости существенно отличается от идеализированной модели невязкой среды.
Для количественного описания вязкого течения используется закон Ньютона для внутреннего трения. Пусть жидкость течёт между двумя параллельными слоями. Если один слой движется относительно другого со скоростью u, то сила трения F, действующая на единицу площади, пропорциональна градиенту скорости:
$$ \tau = \eta \frac{du}{dy}, $$
где
Этот закон является основой для построения всех дальнейших уравнений гидродинамики вязких сред.
Обобщением уравнений Эйлера для вязкой несжимаемой жидкости служат уравнения Навье–Стокса. Они записываются в форме:
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} \right) = - \nabla p + \eta \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{f}, $$
где
Уравнение Навье–Стокса отражает баланс импульса в вязкой среде и является одним из фундаментальных уравнений гидродинамики. Его аналитическое решение возможно лишь в ограниченном числе частных случаев; в общем виде оно исследуется численными методами.
Вязкое течение жидкостей может протекать в двух различных режимах:
Ламинарное течение — упорядоченное движение слоёв жидкости, при котором траектории частиц представляют собой гладкие линии, не пересекающие друг друга. В этом случае сила сопротивления подчиняется закону Ньютона, и расчёты проводятся относительно просто.
Турбулентное течение — хаотическое, вихревое движение жидкости, сопровождающееся случайными колебаниями скорости и давления. Оно возникает при превышении критического значения безразмерного параметра — числа Рейнольдса:
$$ \text{Re} = \frac{\rho v L}{\eta}, $$
где v — характерная скорость течения, L — характерный размер (например, диаметр трубы). При Re < 2000 течение обычно ламинарное, а при больших значениях — переходит в турбулентное.
Одним из важнейших приложений теории вязкого течения является исследование движения жидкости в круглых трубах. В условиях стационарного ламинарного течения при постоянном перепаде давления в трубе радиуса R установлено параболическое распределение скоростей:
$$ v(r) = \frac{\Delta p}{4 \eta l} \left( R^2 - r^2 \right), $$
где
Максимальная скорость достигается на оси трубы (r = 0) и уменьшается к стенкам, где она обращается в ноль.
Средний объёмный расход жидкости через трубу определяется законом Пуазейля:
$$ Q = \frac{\pi R^4}{8 \eta l} \, \Delta p. $$
Этот результат имеет большое значение в гидродинамике, медицине (течение крови по сосудам), инженерных приложениях.
В вязкой жидкости при обтекании твёрдых тел возникает граничный слой — тонкая область у поверхности тела, где скорости резко изменяются от нуля (условие прилипания к поверхности) до значений, характерных для основного потока. Толщина граничного слоя зависит от скорости, вязкости и размеров тела.
Существование граничного слоя объясняет многие явления сопротивления тел в жидкости и позволяет рассчитывать аэродинамические и гидродинамические силы. Теория граничного слоя, созданная Л. Прандтлем, является одним из важнейших разделов механики вязких сред.
Вязкость приводит к необратимым потерям механической энергии. Кинетическая энергия потока постепенно превращается во внутреннюю энергию жидкости, что проявляется как её нагрев. Эта диссипация энергии является фундаментальным свойством вязкого течения.
В уравнении Бернулли для реальных жидкостей необходимо учитывать дополнительные члены, связанные с потерями на трение. Именно поэтому в технических приложениях всегда различают идеализированные уравнения гидродинамики и реальные зависимости, в которых вводятся поправки на вязкость.