Вычисление моментов инерции

Момент инерции — это величина, играющая в механике роль, аналогичную массе при поступательном движении. Если масса характеризует меру инертности тела при прямолинейном движении, то момент инерции определяет меру инертности тела при вращательном движении вокруг оси. Он зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения.

Математически момент инерции относительно некоторой оси определяется как

I = ∫r2 dm,

где r — расстояние от оси вращения до элементарной массы dm.

Для дискретной системы материальных точек:

$$ I = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2. $$

Таким образом, момент инерции — это взвешенная сумма масс тела с коэффициентом, равным квадрату расстояния до оси.

Связь с кинетической энергией вращения

При вращательном движении тело обладает кинетической энергией

$$ T = \frac{1}{2} I \omega^2, $$

где ω — угловая скорость вращения.

Здесь момент инерции играет ту же роль, что масса в формуле для поступательной энергии $\tfrac{1}{2}mv^2$.

Методы вычисления моментов инерции

Существуют различные способы нахождения моментов инерции тел:

  1. Прямое интегрирование. Применяется для тел с простой геометрией и известным распределением массы. Вычисление проводится по определению через интеграл.

  2. Использование теоремы Штейнера (о параллельных осях). Если момент инерции тела известен относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной новой оси, то

    I = Ic + Md2,

    где Ic — момент инерции относительно оси через центр масс, M — масса тела, d — расстояние между осями.

  3. Применение теоремы Гюйгенса–Штейнера. Уточнение теоремы для систем с симметрией.

  4. Разложение на элементарные части. Тело рассматривается как совокупность простых геометрических тел, моменты инерции которых известны. Общий момент находится суммированием.

Примеры вычисления моментов инерции

1. Однородный стержень длиной L, массой M, вращающийся вокруг оси через конец, перпендикулярной к стержню

Пусть ось проходит через точку x = 0. Масса распределена равномерно:

$$ dm = \frac{M}{L} dx. $$

Тогда момент инерции:

$$ I = \int_0^L x^2 \, dm = \frac{M}{L} \int_0^L x^2 dx = \frac{M}{L} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{1}{3}ML^2. $$

2. Однородный стержень относительно центра

Если ось проходит через центр, то

$$ I = \frac{1}{12}ML^2. $$

3. Однородный тонкий обруч радиуса R, массы M, вращающийся вокруг оси через центр, перпендикулярной плоскости

Здесь все элементы массы находятся на расстоянии R от центра:

I = MR2.

4. Однородный сплошной диск радиуса R, массы M относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной плоскости диска

Масса распределена равномерно, поэтому удобно использовать полярные координаты. Элемент массы:

$$ dm = \sigma \, dS, \quad \sigma = \frac{M}{\pi R^2}. $$

Тогда

I = ∫r2dm = σ∫02π∫0Rr2 ⋅ r dr dφ.

$$ I = \sigma 2\pi \int_0^R r^3 dr = \frac{M}{\pi R^2} \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}MR^2. $$

5. Полый цилиндр (тонкостенный обруч) радиуса R, массы M

I = MR2.

6. Сплошной однородный цилиндр радиуса R, массы M, ось вдоль цилиндра

$$ I = \frac{1}{2}MR^2. $$

Основные теоремы для вычислений

Теорема о параллельных осях

Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то относительно другой параллельной оси:

I = Ic + Md2.

Эта теорема значительно упрощает вычисления для смещённых осей.

Теорема о перпендикулярных осях

Для тонкой пластины в плоскости XY:

Iz = Ix + Iy,

где Iz — момент инерции относительно оси z, перпендикулярной к плоскости пластины, а Ix, Iy — моменты относительно осей x и y, лежащих в её плоскости.

Таблица стандартных результатов

Тело Ось вращения Момент инерции
Стержень (через центр, ⟂) середина $\tfrac{1}{12}ML^2$
Стержень (через конец, ⟂) конец $\tfrac{1}{3}ML^2$
Кольцо центр, ⟂ MR2
Диск центр, ⟂ $\tfrac{1}{2}MR^2$
Сфера сплошная центр $\tfrac{2}{5}MR^2$
Сфера полая (оболочка) центр $\tfrac{2}{3}MR^2$
Цилиндр сплошной ось цилиндра $\tfrac{1}{2}MR^2$
Цилиндр полый (обруч) ось цилиндра MR2
Оглавление