Вычислительная гидродинамика (Computational Fluid Dynamics, CFD) представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение жидкости и газа с использованием численных методов. Основная цель CFD — получение приближённых решений уравнений Навье–Стокса и связанных с ними моделей, описывающих динамику жидкости в различных физических условиях.
Ключевым моментом является дискретизация непрерывных уравнений, поскольку аналитические решения для сложных течений чаще всего отсутствуют. Процесс дискретизации включает разделение пространства на сетку и представление производных через конечные разности, конечные элементы или объёмные интегралы.
Основой CFD являются уравнения гидродинамики, включающие:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
где ρ — плотность жидкости, v — вектор скорости.
$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f} $$
где p — давление, μ — коэффициент динамической вязкости, f — объемные силы (например, гравитация).
$$ \rho \left( \frac{\partial e}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)e \right) = -p \nabla \cdot \mathbf{v} + \Phi + Q $$
где e — внутренняя энергия, Φ — вязкая диссипация, Q — теплообмен.
Эти уравнения формируют систему нелинейных частично дифференциальных уравнений, которую аналитически решить практически невозможно для сложных геометрий и условий течения.
1. Метод конечных разностей (Finite Difference Method, FDM): Производные заменяются разностными выражениями на сетке:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x} $$
Прост в реализации, но чувствителен к неструктурированным сеткам и сложной геометрии.
2. Метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM): Разделение области на конечные элементы (треугольники, тетраэдры) и использование базисных функций для аппроксимации решения. Позволяет гибко работать с произвольными формами и границами, особенно полезен для структурированной и несжимаемой гидродинамики.
3. Метод конечных объемов (Finite Volume Method, FVM): Область делится на ячейки, интегралы уравнений записываются для каждой ячейки, что обеспечивает сохранение массы, импульса и энергии на дискретном уровне. Является стандартом в инженерной CFD.
Ключевой момент: выбор метода дискретизации напрямую влияет на точность, стабильность и сходимость численного решения.
Для численного решения требуется разбиение области на сетку. Основные типы сеток:
Ключевой момент: качество сетки определяет точность решения; слишком крупная сетка приводит к потере деталей течения, слишком мелкая — к чрезмерным вычислительным затратам.
Для решения дискретных уравнений применяются различные схемы:
Вычислительная гидродинамика требует контроля трёх основных характеристик численного решения:
Ключевой момент: часто используется анализ Куранта–Фридрихса–Леви (CFL) для проверки устойчивости временной дискретизации.
Большинство инженерных течений — турбулентные, что делает прямое решение уравнений Навье–Стокса (Direct Numerical Simulation, DNS) чрезвычайно затратным. Для практики применяются модели турбулентности:
Для корректного решения необходимо задать:
Ключевой момент: неверно заданные условия приводят к физически некорректным решениям или расходимости численного метода.
Результаты CFD — это массивы чисел, представляющие поля скорости, давления, температуры и других величин. Для анализа используется:
Эффективная визуализация позволяет интерпретировать результаты и принимать инженерные решения.
CFD применяется в различных областях:
Ключевой момент: использование CFD позволяет снизить количество физических экспериментов, сократить время проектирования и улучшить характеристики устройств.