Вынужденными колебаниями называются колебания системы, возникающие под действием внешней периодической силы. В отличие от свободных колебаний, где система движется за счет первоначально сообщенной энергии, здесь источник энергии непрерывен и связан с внешним воздействием. Вынужденные колебания характерны для множества физических систем: механических, электрических, акустических, оптических.
Рассмотрим линейный гармонический осциллятор с массой m, жесткостью пружины k и коэффициентом вязкого сопротивления β. Уравнение движения под действием внешней силы F(t) = F0cos (ωt) имеет вид:
$$ m\ddot{x} + \beta \dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t), $$
где
Это уравнение описывает совокупность двух процессов: затухающих свободных колебаний и установившихся вынужденных колебаний. Через достаточно большое время свободная составляющая исчезает, и движение системы определяется только вынужденными колебаниями.
Общее решение уравнения представляет собой сумму решения однородного уравнения (затухающие колебания) и частного решения (вынужденные колебания).
Частное решение ищем в виде:
x(t) = Acos (ωt − φ),
где A — амплитуда установившихся колебаний, а φ — фазовый сдвиг между вынуждающей силой и смещением системы.
Подстановка в уравнение движения приводит к выражению для амплитуды:
$$ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (\beta \omega)^2}}. $$
Фазовый сдвиг определяется условием:
$$ \tan \varphi = \frac{\beta \omega}{k - m\omega^2}. $$
Таким образом, установившиеся вынужденные колебания характеризуются амплитудой, зависящей от частоты внешней силы, и фазовым сдвигом, определяющим запаздывание движения относительно воздействия.
Важнейшей особенностью вынужденных колебаний является зависимость амплитуды от частоты внешней силы. Если ввести собственную частоту системы
$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, $$
то амплитуда принимает вид:
$$ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \left(\frac{\beta}{m}\omega\right)^2}}. $$
При ω ≪ ω0 система следует за внешней силой почти без отставания, амплитуда мала. При ω ≫ ω0 амплитуда также невелика, так как инерционные силы препятствуют движению. Максимум амплитуды наблюдается в окрестности собственной частоты, что связано с явлением резонанса.
Фазовый сдвиг φ также зависит от частоты:
Таким образом, фазо-частотная характеристика плавно изменяется от 0 до π, показывая постепенное запаздывание движения при увеличении частоты.
Резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы (ω ≈ ω0).
В отсутствие затухания (β = 0) амплитуда формально стремится к бесконечности. В реальных системах затухание всегда присутствует, поэтому амплитуда резонансного отклика конечна и определяется выражением:
$$ A_{\text{рез}} = \frac{F_0}{\beta \omega_0}. $$
Чем меньше коэффициент сопротивления, тем выше амплитуда резонансных колебаний.
Резонанс играет ключевую роль в различных областях науки и техники: от разрушения мостов и зданий под действием периодических нагрузок до настройки радиоприемников и лазеров.
График зависимости амплитуды от частоты называется резонансной кривой. Ее форма определяется величиной затухания. Для систем с малым затуханием резонанс выражен резко и сопровождается узким пиком амплитуды. При сильном затухании пик сглаживается.
Характеристика резонансной кривой описывается величиной добротности:
$$ Q = \frac{\omega_0 m}{\beta}. $$
Добротность показывает, насколько “острым” является резонанс. Большая добротность соответствует малому затуханию и высокой избирательности системы по частоте.
Вынужденные колебания связаны с постоянным обменом энергией между внешним источником и системой. В каждый момент времени внешняя сила совершает работу, которая компенсирует потери энергии на сопротивление.
Средняя мощность, передаваемая системе, равна:
$$ P = \frac{F_0^2}{2m} \cdot \frac{\beta \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \left(\frac{\beta}{m}\omega\right)^2}. $$
Максимум мощности достигается при ω = ω0, что совпадает с резонансной частотой.