Задача двух тел в классической механике рассматривает движение двух материальных точек, взаимодействующих друг с другом согласно известному закону силы. Наиболее часто речь идет о законе всемирного тяготения Ньютона, но методы решения остаются справедливыми и для других центральных сил, зависящих только от расстояния между телами.
Пусть два тела массами m1 и m2 взаимодействуют силой, направленной вдоль линии, соединяющей их центры. Обозначим радиус-векторы тел относительно неподвижной инерциальной системы координат как r1 и r2. Сила взаимодействия, действующая на первое тело со стороны второго, обозначается F12, а на второе со стороны первого – F21 = −F12.
Уравнения Ньютона для системы имеют вид:
$$ m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = \mathbf{F}_{12}, \quad m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{F}_{21}. $$
Так как силы внутренние и равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма равна нулю. Это приводит к сохранению полного импульса системы:
$$ m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = 0. $$
Введем радиус-вектор центра масс:
$$ \mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}. $$
Его вторая производная равна:
$$ \ddot{\mathbf{R}} = \frac{m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2}{m_1 + m_2} = 0. $$
Следовательно, центр масс движется равномерно и прямолинейно. Это первый важный результат: задача двух тел сводится к задаче о движении центра масс и относительному движению.
Введем вектор относительного положения:
r = r1 − r2.
Тогда разность уравнений движения даст:
$$ m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 - m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{F}_{12} - \mathbf{F}_{21} = 2\mathbf{F}_{12}. $$
Более удобно переписать уравнение в виде:
$$ \mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(\mathbf{r}), $$
где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ — приведённая масса, а F(r) — сила взаимодействия, зависящая только от расстояния r = |r|.
Таким образом, движение двух тел эквивалентно движению одной точки с массой μ в поле силы, создаваемой потенциальной функцией взаимодействия.
Если взаимодействие носит центральный характер, т.е. $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = f(r)\frac{\mathbf{r}}{r}$, то момент импульса сохраняется. Действительно,
$$ \frac{d}{dt}(\mu \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}) = \mu \mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}(\mathbf{r}) = 0. $$
Следовательно, вектор углового момента $\mathbf{L} = \mu \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}$ сохраняется. Это означает, что относительное движение происходит в плоскости, проходящей через начальное положение и начальную скорость. Таким образом, задача сводится к двумерной.
Сохраняется также полная механическая энергия относительного движения:
$$ E = \frac{\mu \dot{\mathbf{r}}^2}{2} + U(r), $$
где U(r) — потенциальная энергия взаимодействия.
Выберем систему координат так, чтобы плоскость движения совпадала с плоскостью xy. Введем полярные координаты r, φ. Тогда лагранжиан имеет вид:
$$ L = \frac{\mu}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 \right) - U(r). $$
Из уравнений Лагранжа для угловой координаты φ следует:
$$ \frac{d}{dt}(\mu r^2 \dot{\varphi}) = 0, $$
то есть величина M = μr2φ̇ постоянна и равна модулю углового момента.
Используя это, уравнение для радиального движения принимает вид:
$$ \mu \ddot{r} - \frac{M^2}{\mu r^3} = -\frac{dU}{dr}. $$
Таким образом, радиальное движение эквивалентно движению в одномерном эффективном потенциале:
$$ U_{\text{эфф}}(r) = U(r) + \frac{M^2}{2\mu r^2}. $$
Вторая слагаемая соответствует центробежной потенциальной энергии.
Особый интерес представляет случай гравитационного взаимодействия, когда
$$ U(r) = -\frac{G m_1 m_2}{r}. $$
Тогда уравнение движения описывает так называемую задачу Кеплера. Ее решения — конические сечения: эллипсы, параболы и гиперболы в зависимости от значения полной энергии E.
Именно задача двух тел лежит в основе небесной механики. Законы Кеплера, сформулированные на основании наблюдений, строго следуют из рассмотренного анализа. В частности, третий закон Кеплера устанавливает зависимость периода обращения от большой полуоси эллипса:
$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)} a^3, $$
где a — большая полуось орбиты.
Задача двух тел демонстрирует универсальный метод сведения задачи системы тел к эквивалентной задаче об одном теле: