Закон сохранения импульса

Определение импульса

Импульсом материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на её скорость:

p⃗ = mv⃗

Импульс характеризует количество движения, которым обладает тело. Это фундаментальная динамическая характеристика, непосредственно связанная с действием сил и законом Ньютона. Из второго закона Ньютона следует:

$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}, $$

где F⃗ — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к телу.

Таким образом, изменение импульса за некоторый промежуток времени связано с действием внешних сил.

Импульс системы материальных точек

Пусть система состоит из N материальных точек с массами mi и скоростями v⃗i. Полный импульс системы определяется как сумма импульсов её составляющих:

$$ \vec{P} = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i. $$

Для каждой точки справедлив второй закон Ньютона:

$$ \frac{d\vec{p}_i}{dt} = \vec{F}_i^{(ext)} + \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij}, $$

где F⃗i(ext) — внешняя сила, действующая на точку, а F⃗ij — сила взаимодействия между частицами i и j.

Суммируя по всем точкам, получаем:

$$ \frac{d\vec{P}}{dt} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i^{(ext)} + \sum_{i=1}^N \sum_{j \ne i} \vec{F}_{ij}. $$

Двойная сумма внутренних сил взаимно сокращается в силу третьего закона Ньютона (F⃗ij = −F⃗ji), так как они равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно:

$$ \frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{ext}, $$

где F⃗ext — равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему.

Формулировка закона сохранения импульса

Если на систему тел не действуют внешние силы или их сумма равна нулю, то полный импульс системы остаётся постоянным:

P⃗ = const.

Это фундаментальный закон природы, называемый законом сохранения импульса. Он носит универсальный характер и выполняется для любых взаимодействующих тел, независимо от их внутренней структуры, расстояния между ними или характера сил взаимодействия.

Механический смысл и обоснование

Закон сохранения импульса является прямым следствием однородности пространства. Если законы природы не зависят от выбора начала координат, то существует сохраняемая величина — импульс. Это утверждение является частным случаем более общего принципа Нётер, устанавливающего связь между симметриями физических систем и законами сохранения.

Замкнутые и незамкнутые системы

  • Замкнутая система — система, на которую не действуют внешние силы. В этом случае выполняется строгий закон сохранения импульса.
  • Незамкнутая система — система, подверженная внешним воздействиям. Тогда изменение полного импульса связано с равнодействующей внешних сил:

ΔP⃗ = ∫F⃗ext dt.

Закон сохранения импульса при взаимодействии тел

При взаимодействии двух тел, например, в случае удара или отталкивания, внутренние силы, возникающие в момент контакта, по третьему закону Ньютона уравновешиваются. В результате изменение импульса одного тела точно компенсируется изменением импульса другого:

Δp⃗1 + Δp⃗2 = 0.

Это равносильно утверждению, что импульс всей системы сохраняется.

Пример: упругий и неупругий удар

  1. Упругий удар. Сохраняются как импульс, так и кинетическая энергия:

m1v⃗1 + m2v⃗2 = m1v⃗1′ + m2v⃗2′,

$$ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 {v_1'}^2 + \frac{1}{2} m_2 {v_2'}^2. $$

  1. Неупругий удар. Сохраняется только импульс, кинетическая энергия частично переходит во внутреннюю энергию:

m1v⃗1 + m2v⃗2 = (m1 + m2)v⃗.

Центр масс и закон сохранения импульса

Импульс системы тесно связан с движением центра масс. Радиус-вектор центра масс системы определяется формулой:

$$ \vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i, $$

где M = ∑mi — полная масса системы.

Дифференцируя по времени:

$$ \vec{V}_{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i = \frac{\vec{P}}{M}. $$

Таким образом, импульс всей системы пропорционален скорости её центра масс:

P⃗ = MV⃗cm.

Если внешние силы отсутствуют, то скорость центра масс постоянна, а сам центр масс движется равномерно и прямолинейно.

Практические проявления закона

  • Движение ракеты основано на сохранении импульса: выбрасывая часть массы с высокой скоростью, ракета приобретает обратный импульс.
  • Реактивное движение животных (например, кальмаров) подчиняется тем же принципам.
  • В физике элементарных частиц сохранение импульса является одним из главных законов, определяющих возможные и запрещённые процессы взаимодействия.
Оглавление