Механическая энергия — это скалярная величина, характеризующая состояние движения тела или системы тел с точки зрения их способности совершать работу. В классической механике механическая энергия разделяется на две основные формы: кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия связана с движением тела, а потенциальная — с его положением в поле сил.
Кинетическая энергия T тела массы m, движущегося со скоростью v, определяется формулой:
$$ T = \frac{1}{2} m v^2 $$
Ключевой особенностью кинетической энергии является её зависимость исключительно от скорости тела и массы, независимо от направления движения.
Для системы нескольких тел суммарная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех составляющих:
$$ T_{\text{система}} = \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_i^2 $$
Потенциальная энергия U характеризует способность тела совершать работу под действием консервативных сил, таких как сила тяжести или упругая сила.
U = mgh
где g — ускорение свободного падения.
$$ U = \frac{1}{2} k x^2 $$
где k — коэффициент жесткости пружины, x — величина отклонения от положения равновесия.
Для системы тел потенциальная энергия складывается из всех взаимодействий, при этом важно различать силы консервативные и неконсервативные. Только консервативные силы обладают потенциальной энергией, зависящей от координат.
Работа консервативной силы при перемещении тела между точками A и B не зависит от траектории и выражается через разность потенциальной энергии:
AA → B = UA − UB
Если в системе действуют только консервативные силы, изменение кинетической энергии равно работе этих сил:
ΔT = Aконс
Механическая энергия системы сохраняется, если действуют только консервативные силы. Математически это выражается как:
T + U = const
или в дифференциальной форме:
ΔT + ΔU = 0
Эта зависимость позволяет связывать скорость тела с его положением в поле сил без прямого решения уравнений движения.
Пример: свободное падение тела массы m с высоты h.
Механическая энергия E = T + U = mgh остаётся неизменной в течение всего движения.
Если на систему действуют неконсервативные силы (трение, сопротивление среды, активные двигатели), полная механическая энергия не сохраняется, а изменяется в соответствии с работой этих сил:
ΔEмех = Aнеконс
Таким образом, закон сохранения механической энергии в его классическом виде применим только к замкнутым системам, в которых отсутствуют потери энергии на тепловые эффекты и другие неконсервативные процессы.
Закон сохранения механической энергии широко используется для решения задач без интегрирования уравнений движения. Среди стандартных применений:
Использование энергии как скалярной величины упрощает анализ сложных систем, особенно когда траектория движения неизвестна или трудно описуема.