Основное определение Момент импульса механической системы — это величина, характеризующая вращательное движение системы относительно выбранной точки или оси. Для материальной точки с радиус-вектором r и импульсом p = m v момент импульса определяется векторным произведением
L = r × p.
Для системы частиц момент импульса равен векторной сумме моментов импульсов всех её элементов:
L = ∑iri × pi.
Связь с моментом силы Из второго закона Ньютона для материальной точки имеем:
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}. $$
Следовательно, производная момента импульса по времени равна:
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \mathbf{v} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt}. $$
Так как v × p = v × mv = 0, остаётся:
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{M}, $$
где M — момент силы относительно той же точки.
Таким образом, момент силы является производной от момента импульса:
$$ \mathbf{M} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}. $$
Формулировка закона сохранения Если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то момент импульса системы сохраняется:
Mвнеш = 0 ⇒ L = const.
Этот принцип является одним из важнейших законов сохранения в механике, наряду с законом сохранения энергии и закона сохранения импульса.
При рассмотрении системы материальных точек необходимо учитывать, что внутренняя сила, действующая со стороны частицы j на частицу i, создаёт момент, равный по величине и противоположный по направлению моменту силы, действующей со стороны частицы i на частицу j. Благодаря третьему закону Ньютона сумма моментов внутренних сил в системе равна нулю.
Таким образом, изменение момента импульса системы зависит только от действия внешних сил:
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{M}_{\text{внеш}}. $$
Для твёрдого тела вращающегося вокруг неподвижной оси момент импульса определяется через угловую скорость и момент инерции:
L = Iω,
где I — момент инерции тела относительно оси вращения, ω — вектор угловой скорости.
Если внешние моменты сил относительно этой оси отсутствуют, то угловая скорость остаётся постоянной, что приводит к сохранению вращательного состояния тела.
Астрономия Планеты движутся вокруг Солнца под действием центральной гравитационной силы. Центральные силы не создают момента относительно центра, поэтому момент импульса каждой планеты сохраняется. Отсюда следует второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.
Гироскопические явления Вращающийся гироскоп сохраняет направление оси вращения благодаря сохранению момента импульса. При действии внешнего момента ось совершает прецессию, сохраняя постоянную величину момента импульса.
Фигурное катание и акробатика Когда спортсмен при вращении прижимает руки и ноги к телу, момент инерции уменьшается. Так как момент импульса сохраняется, угловая скорость увеличивается. При распрямлении рук и ног момент инерции возрастает, а угловая скорость уменьшается.
Техника В турбинах, маховиках и стабилизаторах сохранение момента импульса используется для устойчивости и накопления энергии вращения.
В векторной форме для системы материальных точек уравнение динамики вращательного движения записывается как
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{M}_{\text{внеш}}. $$
При Mвнеш = 0 имеем:
L(t) = L(0).
Таким образом, закон сохранения момента импульса является следствием фундаментальной симметрии пространства — изотропности, то есть однородности пространства по направлению. Согласно принципам аналитической механики и теоремам Нётер, инвариантность законов физики относительно поворота координатных систем приводит именно к сохранению момента импульса.