Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном в XVII веке, устанавливает универсальное взаимодействие между всеми телами, обладающими массой. Суть закона выражается в том, что любые два материальных объекта во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами масс.

Математически:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$

где

  • F — сила гравитационного взаимодействия,
  • m1, m2 — массы взаимодействующих тел,
  • r — расстояние между центрами масс тел,
  • G — гравитационная постоянная, численно равная 6.674 ⋅ 10−11 Н·м2/кг2.

Таким образом, гравитация является универсальной силой, действующей на любом масштабе: от микроскопических объектов до галактик.

Характеристики и свойства гравитационного взаимодействия

  1. Всепроникаемость. В отличие от электрических или магнитных сил, гравитация действует между всеми телами без исключения, поскольку масса является всеобщим атрибутом материи.

  2. Долгодействие. Гравитация имеет бесконечный радиус действия, хотя её интенсивность убывает по закону обратных квадратов.

  3. Пропорциональность массе. Чем больше масса тела, тем сильнее оно притягивает другие объекты. Именно поэтому планеты удерживают на себе атмосферу, а звёзды — целые планетные системы.

  4. Невозможность экранирования. В отличие от электростатического взаимодействия, где возможна компенсация зарядов, гравитацию нельзя “погасить” никакими способами — всегда существует лишь притяжение.

Центр масс и действие силы

При вычислении гравитационного взаимодействия тел любой формы предполагается, что вся масса сосредоточена в центре масс. Для сферически симметричных тел (например, планет и звёзд) сила притяжения действительно эквивалентна действию, как если бы масса тела была сосредоточена в одной точке в центре сферы. Это утверждение является следствием теоремы Ньютона о сферических слоях.

Гравитация и движение небесных тел

Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики. Именно он объясняет:

  • форму орбит планет (эллипсы, описанные Кеплером);
  • существование спутников у планет;
  • движение двойных и кратных звёздных систем;
  • структуры галактик и их динамику.

В сочетании с законами движения Ньютона он позволил впервые рассчитать траектории планет и объяснить эмпирические законы Кеплера.

Связь с законами Кеплера

Закон Кеплера о том, что планеты движутся по эллиптическим орбитам с Солнцем в одном из фокусов, является частным следствием закона всемирного тяготения.

  • Первый закон Кеплера (эллиптические орбиты) — вытекает из решения задачи о двух телах.
  • Второй закон Кеплера (равные площади за равные промежутки времени) — отражает сохранение момента импульса в гравитационном поле.
  • Третий закон Кеплера (куб большой полуоси пропорционален квадрату периода) — может быть прямо выведен из формулы гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести и поле Земли

Для тела массой m, находящегося на поверхности Земли, сила притяжения равна

$$ F = G \frac{M_\text{З} m}{R_\text{З}^2}, $$

где MЗ — масса Земли, RЗ — её радиус.

Определяя ускорение свободного падения g, получаем:

$$ g = G \frac{M_\text{З}}{R_\text{З}^2}. $$

На практике g ≈ 9, 81 м/с2, однако это значение изменяется в зависимости от широты и высоты над уровнем моря.

Поле тяготения и потенциал

Гравитацию удобно рассматривать в терминах поля. Вектор напряжённости поля в данной точке пространства определяется как сила, действующая на единичную пробную массу:

$$ \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}. $$

Потенциал гравитационного поля:

$$ \varphi = - G \frac{M}{r}. $$

Это скалярная функция, удобная для анализа задач о движении тел в поле тяжести, так как сила является градиентом потенциала:

F⃗ = −m∇φ.

Ограничения и область применимости

Хотя закон Ньютона обладает исключительной точностью в большинстве практических случаев, при движении с околосветовыми скоростями или вблизи массивных объектов (например, нейтронных звёзд и чёрных дыр) необходимо использовать более точную теорию — общую теорию относительности Эйнштейна. Она корректирует ньютоновское описание, вводя понятие искривлённого пространства-времени.

Тем не менее, в инженерной практике, астрономических вычислениях и задачах небесной механики ньютоновский закон остаётся основным инструментом и сегодня.

Оглавление