Законы Ньютона

Законы Ньютона образуют фундамент классической механики и описывают движение материальных тел под действием сил. Они формулируют количественные связи между силами, массой и ускорением тел, позволяя предсказывать динамику систем различной сложности.

Первый закон Ньютона (Закон инерции)

Формулировка: Если на тело не действуют силы или сумма всех действующих на него сил равна нулю, тело сохраняет свою скорость постоянной по величине и направлению. Иными словами, тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если отсутствуют внешние воздействия.

Математическое выражение:

∑F⃗ = 0  ⇒  v⃗ = const

Ключевые моменты:

  • Инерция — это свойство тел сохранять состояние движения.
  • Первый закон вводит понятие инерциальной системы отсчета, в которой закон инерции выполняется.
  • Вне инерциальной системы наблюдаются эффекты, которые кажутся действием “фиктивных сил”.

Второй закон Ньютона (Закон динамики)

Формулировка: Ускорение тела прямо пропорционально сумме действующих на него сил и обратно пропорционально массе тела. Оно направлено в сторону действия силы.

Математическое выражение:

F⃗ = ma⃗

где F⃗ — вектор силы, m — масса тела, a⃗ — ускорение.

Особенности и последствия:

  • Закон второго порядка позволяет переходить от описания движения тела через скорость и координаты к количественной характеристике силы.
  • Масса тела выступает мерой его инертности.
  • Второй закон является основой для решения задач динамики: определение ускорений, траекторий, сил взаимодействия.

Третий закон Ньютона (Закон действия и противодействия)

Формулировка: Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению.

Математическое выражение:

F⃗12 = −F⃗21

Ключевые моменты:

  • Закон утверждает симметрию взаимодействия между телами.
  • Сила действия и сила противодействия приложены к разным телам, поэтому их векторная сумма не обнуляет движение системы, а передает импульс.
  • Третий закон лежит в основе закона сохранения импульса.

Применение законов Ньютона

Законы Ньютона применяются для анализа движения тел в различных условиях:

  1. Свободное падение тел: F⃗ = mg⃗ ⇒ a⃗ = g⃗, где g — ускорение свободного падения.
  2. Движение по наклонной плоскости: Разложение силы тяжести на компоненты позволяет определить ускорение и силу трения.
  3. Движение в системах с трением и сопротивлением среды: Включение сил трения и сопротивления воздуха изменяет уравнение второго закона: F⃗рез = ma⃗, где F⃗рез = F⃗прил + F⃗трение + F⃗сопр.
  4. Движение в центральных полях силы: В случае, например, гравитационного поля: $\vec{F} = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}$, что позволяет вычислять орбиты и траектории тел.

Силы в механике

Для применения законов Ньютона необходимо точно определить все действующие силы. Основные типы:

  • Сила тяжести: F⃗g = mg⃗
  • Сила упругости: F⃗упр = −kΔx⃗ (закон Гука)
  • Сила трения: F⃗тр = μN, где μ — коэффициент трения, N — нормальная сила
  • Центростремительная сила: $\vec{F}_c = \frac{m v^2}{r}$ для движения по криволинейной траектории
  • Силы сопротивления среды: часто зависят от скорости тела F⃗сопр ∼ v или  ∼ v2

Векторная форма и проекции

Законы Ньютона в векторной форме позволяют учитывать движение в пространстве:

$$ \vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} $$

Для задач в 2D или 3D удобно разложить силы на проекции по осям:

$$ \begin{cases} F_x = m a_x \\ F_y = m a_y \\ F_z = m a_z \end{cases} $$

Это упрощает решение систем уравнений движения для тел в сложных конфигурациях.

Связь с законами сохранения

Законы Ньютона тесно связаны с законами сохранения:

  • Импульса: $\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}$
  • Энергии: Работа сил приводит к изменению кинетической и потенциальной энергии тел.
Оглавление