Рассмотрим непрерывную среду — газ или жидкость — в состоянии равновесия. Пусть плотность в невозмущённом состоянии равна ρ0, давление — p0, скорость частиц среды равна нулю. При прохождении звуковой волны в среде возникают малые возмущения: плотности ρ′ ≪ ρ0, давления p′ ≪ p0 и скорости движения v, которые подчиняются уравнениям гидродинамики.
Основные уравнения включают:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 . $$
Для малых возмущений оно сводится к
$$ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 . $$
$$ \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = - \nabla p . $$
В линейном приближении:
$$ \rho_0 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = - \nabla p' . $$
p′ = c2ρ′,
где c — скорость звука в среде, равная
$$ c = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s} . $$
Здесь индекс s указывает на адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие.
Комбинируя уравнение непрерывности и уравнение движения, исключим скорость v. Получаем:
$$ \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \rho' = 0 . $$
Аналогично для возмущения давления:
$$ \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 p' = 0 . $$
Таким образом, и давление, и плотность в звуковой волне подчиняются волновому уравнению. Решение этого уравнения описывает распространение возмущений в виде бегущих или стоячих волн.
Для одномерного случая (распространение вдоль оси x) решение имеет вид:
p′(x, t) = pmcos (kx − ωt),
где pm — амплитуда давления, ω — угловая частота, $k = \frac{\omega}{c}$ — волновое число.
Скорость частиц среды связана с возмущением давления через:
$$ v(x,t) = \frac{p_m}{\rho_0 c} \cos(kx - \omega t). $$
Здесь коэффициент $\frac{p_m}{\rho_0 c}$ определяет амплитуду колебательной скорости.
Энергия звуковой волны складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии упругой деформации. Средняя плотность энергии:
$$ \langle w \rangle = \frac{p_m^2}{2 \rho_0 c^2}. $$
Энергетический поток, переносимый волной, характеризуется вектором Умова—Пойнтинга (аналогом для акустики):
I = ⟨p′v⟩.
Для плоской гармонической волны среднее значение модуля интенсивности:
$$ I = \frac{p_m^2}{2 \rho_0 c}. $$
Таким образом, интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды давления.
Важной величиной является характеристическое акустическое сопротивление среды:
Z = ρ0c.
Оно определяет соотношение между амплитудой акустического давления и скоростью колебаний:
$$ \frac{p'}{v} = Z . $$
Эта величина играет ключевую роль при переходе звуковой волны из одной среды в другую, так как от соотношения их сопротивлений зависят коэффициенты отражения и прохождения звука.
При падении плоской волны на границу раздела двух сред часть энергии отражается, а часть проходит. Амплитуда отражённой и прошедшей волны определяется условиями непрерывности давления и скорости на границе.
Коэффициент отражения по амплитуде:
$$ R = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}, $$
коэффициент прохождения:
$$ T = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1}. $$
Здесь Z1 и Z2 — акустические сопротивления первой и второй среды.
Таким образом, для сильного прохождения звука необходимо согласование сопротивлений сред. На этой основе работают акустические трансформаторы и специальные покрытия для уменьшения отражений.
Если звуковая волна отражается от препятствия, то при наложении падающей и отражённой волн образуется стоячая волна. В этом случае давление и скорость распределяются по пространству в виде чередующихся узлов и пучностей.
Для замкнутых или частично замкнутых областей (труб, резонаторов) образуются резонансные моды колебаний, частоты которых определяются размерами системы и граничными условиями.
Например, для трубы, закрытой с одного конца и открытой с другого, резонансные частоты равны:
$$ f_n = \frac{(2n-1)c}{4L}, \quad n = 1,2,3,\dots , $$
где L — длина трубы.
Эти явления лежат в основе работы музыкальных инструментов и многих акустических устройств.
В жидкостях и газах распространение звуковых волн подчиняется одним и тем же основным законам, но с учётом различий в свойствах среды.
$$ c = \sqrt{\gamma \frac{RT}{M}}, $$
где γ — показатель адиабаты, R — универсальная газовая постоянная, M — молярная масса газа, T — температура.
$$ c = \sqrt{\frac{1}{\kappa \rho_0}}, $$
где κ — коэффициент изотермической сжимаемости.
Звуковые волны в жидкостях обычно затухают слабее, чем в газах, из-за меньших потерь на вязкость и теплопроводность.
В реальных средах звуковые волны испытывают потери энергии вследствие вязкости, теплопроводности и процессов теплового обмена. Это приводит к постепенному уменьшению амплитуды при распространении.
Затухание характеризуется коэффициентом поглощения α, так что амплитуда давления убывает по закону:
pm(x) = pm(0)e−αx.
В газах при нормальных условиях затухание заметно только на больших расстояниях, тогда как в вязких жидкостях оно может быть существенно даже на малых масштабах.