Квантовая статистика при низких температах

Квантовая статистика описывает поведение систем, состоящих из большого числа частиц, когда их тепловая энергия сравнима с квантовыми энергиями отдельных частиц. При низких температурах T → 0 классическая статистика перестает быть применимой, и необходимо учитывать квантовые эффекты, обусловленные принципом неопределенности и квантовой тождественностью частиц.

Ключевой момент: два типа частиц — фермионы и бозоны — подчиняются различным статистическим законам:

  • Фермионы (электроны, протоны, нейтроны) подчиняются статистике Ферми-Дирака.
  • Бозоны (фотоны, фононы, атомы ^4He) подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Различие проявляется в ограничении для состояния: у фермионов нельзя более одной частицы занимать одно квантовое состояние (принцип Паули), в то время как у бозонов это ограничение отсутствует, что приводит к феномену конденсации.

Распределение Ферми-Дирака

Вероятность того, что квантовое состояние с энергией ϵ занято фермионом при температуре T, описывается функцией Ферми-Дирака:

$$ f(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon - \mu)/k_B T} + 1}, $$

где μ — химический потенциал (при T → 0 он стремится к энергии Ферми ϵF), kB — постоянная Больцмана.

Особенности при низких температурах:

  1. При T → 0: f(ϵ) = 1 для ϵ < ϵF и f(ϵ) = 0 для ϵ > ϵF. Это формирует Ферми-поверхность, критическую для металлов и полупроводников.
  2. При малых, но конечных температурах возникает размытие границы, пропорциональное kBT/ϵF.
  3. Энергетическая плотность и теплоемкость фермионной системы при T ≪ ϵF/kB подчиняются законам:

Cv ∝ T,  U(T) − U(0) ∝ T2.

Ключевой момент: линейная зависимость теплоемкости от температуры является прямым следствием квантовой природы электронного газа.

Распределение Бозе-Эйнштейна

Для бозонов распределение вероятностей определяется формулой:

$$ n(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon - \mu)/k_B T} - 1}. $$

Особенности при низких температурах:

  1. Для бозонов химический потенциал μ ≤ 0 и стремится к нулю при достижении температуры конденсации Tc.
  2. Ниже Tc возникает Бозе-Эйнштейновская конденсация: макроскопическое число частиц занимает нижнее энергетическое состояние ϵ = 0.
  3. Классическим примером является жидкий гелий-4, где конденсация проявляется как сверхтекучесть при T ≲ 2.17 K.

Ключевой момент: конденсат бозонов демонстрирует квантовые эффекты на макроскопическом уровне, такие как когерентность и сверхтекучесть.

Плотность состояний и интегральные характеристики

При расчете термодинамических свойств систем важна плотность квантовых состояний g(ϵ). Для трехмерного свободного газа частиц с массой m она имеет вид:

$$ g(\epsilon) = \frac{V}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{\epsilon}, $$

где V — объем системы, ℏ — приведенная постоянная Планка.

Ферми-система: интегрирование по распределению Ферми-Дирака дает внутреннюю энергию, давление и теплоемкость.

Бозе-система: интегрирование по распределению Бозе-Эйнштейна показывает появление критической температуры и конденсированного состояния:

$$ N = \int_0^\infty \frac{g(\epsilon) \, d\epsilon}{e^{\epsilon/k_B T} - 1}. $$

Тепловые свойства при низких температурах

  • Электронный газ (фермионы): теплоемкость линейно зависит от T.
  • Фононы (бозоны, кристаллическая решетка): при T ≪ ΘD (температура Дебая) теплоемкость подчиняется закону Дебая Cv ∝ T3.
  • Сверхтекучий гелий (бозоны): при T → 0 наблюдаются аномальные эффекты, включающие нулевое сопротивление и квантовую вязкость.

Ключевой момент: различия в поведении фермионов и бозонов при низких температурах полностью обусловлены их квантовой статистикой.

Магнитные свойства квантовых систем

При низких температурах квантовые эффекты влияют на парамагнитные и диамагнитные свойства:

  • Фермионы: эффект Паули — слабый парамагнетизм электронного газа, пропорциональный T.
  • Бозоны: отсутствие принципа Паули ведет к коллективным эффектам, например, формирование вихрей в сверхтекучем состоянии.

Влияние взаимодействий

Реальные системы включают межчастичные взаимодействия:

  1. Слабые взаимодействия фермионов: ведут к сверхпроводимости (появление куперовских пар).
  2. Сильные бозонные взаимодействия: влияют на температуру конденсации и критические свойства.

Ключевой момент: даже слабые квантовые взаимодействия могут кардинально изменить макроскопические свойства системы при низких температурах.

Оглавление