Динамическое среднее поле (ДСФ) является мощным инструментом для описания коллективного поведения квантовых систем при низких температурах, где классические методы термодинамики оказываются недостаточными. В криофизике ДСФ применяется для анализа спиновых систем, ультрахолодных атомов в оптических решетках, а также возбуждений в конденсатах Бозе–Эйнштейна и ферми-системах при температурах близких к абсолютному нулю.
Метод динамического среднего поля основан на разложении взаимодействий между частицами системы на эффективное среднее поле, которое действует на каждую частицу, и на учет флуктуаций вокруг этого поля. Формально, для гамильтониана системы
$$ \hat{H} = \sum_i \hat{H}_i^{(0)} + \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \hat{V}_{ij}, $$
где Ĥi(0) — гамильтониан отдельной частицы, а V̂ij — взаимодействие между частицами i и j, вводится среднее поле
ĤiMF = Ĥi(0) + ∑j ≠ i⟨V̂ij⟩.
Здесь ⟨V̂ij⟩ — среднее значение взаимодействия с точки зрения остальных частиц.
Ключевое предположение: в криофизических условиях флуктуации малые, и динамика системы определяется преимущественно этим средним полем, что позволяет перейти от сложной многотельной задачи к задаче с эффективными однородными частицами.
Для квантовых спиновых систем, описываемых спиновым оператором $\hat{\mathbf{S}}_i$, уравнение движения в рамках динамического среднего поля имеет вид
$$ \frac{d\langle \hat{\mathbf{S}}_i \rangle}{dt} = \langle \hat{\mathbf{S}}_i \rangle \times \mathbf{B}_i^{\rm eff}, $$
где эффективное магнитное поле задается
$$ \mathbf{B}_i^{\rm eff} = \mathbf{B}_{\rm ext} + \sum_{j \neq i} J_{ij} \langle \hat{\mathbf{S}}_j \rangle. $$
Здесь Jij — параметр обменного взаимодействия, а $\mathbf{B}_{\rm ext}$ — внешнее магнитное поле.
В криофизике важно учитывать квантовые корреляции, которые приводят к дополнительным членам в уравнениях движения, учитывающим возмущения порядка ℏ. Эти члены можно включить через коррекционные функции вида
$$ C_{ij}(t) = \langle \hat{\mathbf{S}}_i(t) \hat{\mathbf{S}}_j(t) \rangle - \langle \hat{\mathbf{S}}_i(t) \rangle \langle \hat{\mathbf{S}}_j(t) \rangle. $$
1. Спиновые решетки: В криофизике спиновые решетки при сверхнизких температурах демонстрируют квантовые флуктуации, которые можно эффективно описывать в рамках ДСФ. Метод позволяет предсказывать динамику магнетизации, условия фазовых переходов, а также время релаксации спиновых корреляций.
2. Ультрахолодные атомы в оптических решетках: Для ансамблей Бозе–Эйнштейна и ферми-систем метод динамического среднего поля позволяет рассчитать спектры коллективных возбуждений, локализацию Бозе–Хаббарда, а также процессы квазирелаксации при температуре порядка наносекундных кельвинов.
3. Квантовые конденсаты и сверхтекучесть: Динамическое среднее поле позволяет получать уравнения движения для фазового поля и плотности частиц. Например, для Бозе-конденсата уравнения ДСФ дают более точное описание волновых пакетов и критических скоростей, чем обычный метод Гросса–Питаевского.