Калибровочная инвариантность является одним из ключевых понятий в теории поля, имеющим глубокие физические и математические основания. В квантовой теории поля (КТП) это свойство лежит в основе взаимодействий элементарных частиц и является основой для описания всех взаимодействий, включая электромагнитные, слабые и сильные.
Калибровочная инвариантность означает, что физические законы не меняются при преобразованиях поля, если эти преобразования зависят от точки пространства-времени. В общем случае, если в теории существует группа калибровочных симметрий, то поля, описывающие взаимодействия частиц, должны быть преобразуемы относительно этой группы. В теоретической физике такие симметрии называют локальными или калибровочными.
Примером калибровочной симметрии является теоретическая конструкция для описания электромагнитного поля с использованием уравнений Максвелла. В этом случае, инвариантность Лагранжиана относительно преобразований калибровки позволяет описать электромагнитные взаимодействия через векторное поле — потенциал, который может быть локально преобразован без изменения физического содержания теории. В теории электрослабых и сильных взаимодействий также присутствуют калибровочные симметрии, но они имеют более сложные математические структуры, требующие введения более сложных поля и групп.
В квантовой теории поля калибровочные симметрии играют важную роль в построении Лагранжиана, который описывает динамику системы. Лагранжиан для свободных и взаимодействующих полей должен быть инвариантен относительно локальных преобразований. Рассмотрим пример Лагранжиана, инвариантного относительно локальной U(1) симметрии (например, электромагнитная симметрия).
Лагранжиан для свободного скалярного поля с электромагнитным взаимодействием можно записать как:
$$ \mathcal{L} = - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} + |(\partial_\mu - ieA_\mu) \phi|^2 - m^2 |\phi|^2 $$
где Aμ — векторный потенциал электромагнитного поля, ϕ — скалярное поле, а e — заряд частицы. В этом выражении появляется калибровочное поле Aμ, которое взаимодействует с частицами поля ϕ через минимальное калибровочное взаимодействие.
Однако, даже если теоретически поле обладает калибровочной симметрией, для проведения конкретных расчетов может возникать необходимость в дополнительной фиксации калибровки.
В теории поля, калибровочная инвариантность не дает явного определения для физических величин, так как существует свобода выбора системы отсчета, которая связана с калибровочными преобразованиями. Например, в электродинамике можно выбрать различные формы для векторного потенциала Aμ, не изменяя физического содержания теории. Это приводит к избыточности описания, которая может затруднить физическое интерпретирование и вычисления.
Чтобы решить эту проблему, вводится процедура фиксации калибровки. Это процесс, в ходе которого из множества возможных калибровок выбирается одна, удобная для вычислений. Эта процедура обычно сопровождается добавлением дополнительных членов в Лагранжиан, которые обеспечивают уникальность выбора калибровки.
Одним из наиболее известных методов фиксации калибровки является условие Ландау-Гиббса, которое накладывает ограничение на компоненты поля в определенных точках пространства-времени. В рамках этого условия векторный потенциал Aμ можно выбрать так, чтобы его дивергенция была равна нулю:
∂μAμ = 0
Этот выбор называется калибровкой де Доноса и применяется в ряде случаев, например, при расчете взаимодействий в электродинамике.
Другим широко используемым методом является калибровка Фаддеева-Попова, которая используется в теории квантовой хромодинамики (КХД) для описания взаимодействий кварков и глюонов. Метод Фаддеева-Попова позволяет ввести в теорию дополнительные фермионные поля (поля Фаддеева-Попова), которые обеспечивают правильное учет избыточных степеней свободы в калибровочной теории. Эти фермионные поля вступают в взаимодействие с калибровочными полями и позволяют корректно вычислить амплитуды для физических процессов.
После выбора калибровки важно правильно определить, как производить квантование полей. Калибровочная инвариантность требует введения правильных предельных условий и правильной трактовки спектра состояний теории, поскольку избыточность в степенях свободы может привести к неправильной интерпретации квантовых состояний.
Для калибровочных полей процесс квантования может быть выполнен через метод канонического квантования или метод функционального интеграла. В обоих случаях фиксация калибровки играет важную роль, так как избыточные степени свободы могут вводить ложные состояния в квантовом описании, что может исказить результаты вычислений.
Процесс фиксации калибровки оказывает существенное влияние на результаты теоретических расчетов. Правильная фиксация позволяет избежать избыточных решений и гарантирует, что теоретическая модель будет описывать физические процессы корректно. Однако, важно отметить, что выбор калибровки может сильно повлиять на числовые результаты, поскольку разные калибровки могут привести к различным значениям амплитуд рассеяния и других физических величин.
Таким образом, калибровочная инвариантность и фиксация калибровки играют важную роль в построении и анализе квантовых теорий поля. Процедура фиксации калибровки необходима для устранения избыточности и обеспечения корректных вычислений физических величин, связанных с калибровочными взаимодействиями.