Нелинейная сигма-модель представляет собой квантовую теорию поля, в которой элементарные поля есть отображения из двумерного мира (мирового листа струны или двумерного пространства-времени) в риманово многообразие (таргетное пространство). Пусть Σ — двумерное многообразие (обычно с метрикой hαβ), и пусть M — риманово многообразие с метрикой Gij(ϕ), где ϕi(x) — координаты поля на M. Тогда лагранжиан нелинейной сигма-модели имеет вид:
$$ S[\phi] = \frac{1}{4\pi \alpha'} \int_{\Sigma} d^2x\, \sqrt{h}\, h^{\alpha\beta}\, G_{ij}(\phi)\, \partial_\alpha \phi^i\, \partial_\beta \phi^j $$
где α′ — параметр с размерностью длины в квадрате (в теории струн он обратен натяжению струны).
Таким образом, действие описывает двумерную скалярную теорию с таргетным пространством M, при этом метрика Gij выступает как функция взаимодействия между полями. Это определяет динамику как геометрию: квазиклассические конфигурации соответствуют гармоническим отображениям ϕ : Σ → M, минимизирующим функционал действия.
При квантовании нелинейной сигма-модели оказывается, что метрика Gij становится функцией масштаба, эволюционирующей по уравнениям ренормгрупп. На уровне одно-петлевой аппроксимации β-функция для метрики Gij имеет вид:
$$ \beta_{ij} = \mu \frac{d}{d\mu} G_{ij} = \alpha' R_{ij} + O(\alpha'^2) $$
где Rij — риччиева кривизна таргетного пространства. Таким образом, ренормгрупповой поток метрики описывается уравнением типа уравнения Риччи:
$$ \frac{d}{dt} G_{ij} = -\alpha' R_{ij} $$
Это имеет фундаментальные последствия: ультрафиолетовое поведение нелинейной сигма-модели управляется геометрией пространства M. Ультрафиолетовая устойчивость достигается, если Rij = 0, то есть M — рикки-плоское многообразие, как, например, торовое или калаби-яуское пространство.
В случае двумерной квантовой теории поля особенно важно сохранить конформную симметрию. Для этого необходимо, чтобы β-функции всех полей исчезали. Помимо метрики Gij, в действие можно добавить дополнительные фоновые поля: антисимметричное Bij и дилатон Φ. Тогда действие принимает вид:
$$ S[\phi] = \frac{1}{4\pi \alpha'} \int d^2x\, \left[ \sqrt{h}\, h^{\alpha\beta} G_{ij}(\phi) \partial_\alpha \phi^i \partial_\beta \phi^j + \epsilon^{\alpha\beta} B_{ij}(\phi) \partial_\alpha \phi^i \partial_\beta \phi^j + \alpha' \sqrt{h} R^{(2)} \Phi(\phi) \right] $$
Исчезновение β-функций приводит к уравнениям движения фоновых полей, аналогичным уравнениям Эйнштейна с поправками порядка α′. Таким образом, условия конформной инвариантности эквивалентны уравнениям движения эффективной теории гравитации в критической размерности.
Суперсимметрическая нелинейная сигма-модель получается добавлением суперпартнёров к полям ϕi. В двумерии с ???? = 1 суперсимметрией лагранжиан содержит фермионы ψ±i, которые являются спинорными партнёрами ϕi. Лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{4\pi \alpha'} \left( G_{ij} \left[ \partial_+ \phi^i \partial_- \phi^j + i \psi^i_- D_+ \psi^j_- + i \psi^i_+ D_- \psi^j_+ \right] + R_{ijkl} \psi^i_+ \psi^j_+ \psi^k_- \psi^l_- \right) $$
где D± — ковариантные производные, а Rijkl — тензор кривизны Римана.
Суперсимметрия накладывает дополнительные условия на геометрию пространства M. Для ???? = 2 теории M должно быть калаби-яуско многообразием (комплексным, кэлеровым и с нулевой первой черной классой). Это важно в теории суперструн и для построения чётных калибровочных теорий через зеркальную симметрию и дуальности.
Нелинейные сигма-модели можно деформировать так, чтобы получить топологические квантовые теории поля. Это достигается твистингом ???? = 2 суперсимметрии, который изменяет спиновую структуру полей, превращая суперзаряды в BRST-операторы. Это приводит к двум типам моделей:
В A-модели амплитуды локализуются на псевдо-голоморфных кривых (громов-виттеновская теория), в то время как в B-модели они локализуются на голоморфных отображениях, и теория чувствительна к деформациям комплексной структуры.
Обе модели играют фундаментальную роль в зеркальной симметрии и в современных интерпретациях теории струн, алгебраической геометрии и квантовой топологии.
Нелинейная сигма-модель допускает широкий класс деформаций, включая $T\overline{T}$-деформации и $J\overline{T}$-деформации, приводящие к новым, иногда точно интегрируемым теориям. Одной из известных деформаций является деформация по Виттену, соответствующая добавлению граничного члена (термин Весс-Зумино), который приводит к появлению топологического заряда:
$$ S_{WZ} = \frac{k}{24\pi} \int_{B} \text{Tr}(g^{-1} dg)^3 $$
где g ∈ G — поле, принимающее значения в компактной группе G, и B — трёхмерный объём с границей ∂B = Σ. Совместно с сигма-модельным действием это даёт модель Весс-Зумино-Виттена (WZW-модель), которая играет центральную роль в двумерной конформной теории поля и теории аффинных алгебр.
Нелинейные сигма-модели на симметрических пространствах, таких как G/H, обладают интегрируемой структурой. Их уравнения движения допускают представление через уравнения совместимости линейных систем (лаксовых пар):
[∂+ + A+, ∂− + A−] = 0
что ведёт к сохранению бесконечного числа токов, обеспечивающих интегрируемость. Это позволяет использовать методы обратной задачи рассеяния, решать теорию точно, и строить S-матрицы с факторизованным рассеянием.
Пример — модель O(N)-симметричной сигма-модели, важная в статистической физике и теории сильных взаимодействий, с точным описанием спектра возбуждений и нелокальными симметриями.
Общий класс сигма-моделей включает поля, значащиеся на более сложных геометрических объектах: суперпространствах и косетах. Особенно важны косетные модели типа G/H, которые являются фундаментом для описания суперструн на пространстве AdS5 × S5 через модель Грин-Шварца, основанную на косете PSU(2, 2|4)/SO(4, 1) × SO(5).
Такие модели также допускают интегрируемую структуру, описываются с помощью классических r-матриц, янговых алгебр и позволяют строить точные решения в контексте AdS/CFT-диспетчеризации.
Существуют деформации сигма-моделей, основанные на r-матрицах, удовлетворяющих классическому уравнению Янга–Бакстера. Такие деформации, как правило, приводят к квантовой группе симметрий и изменяют геометрию таргетного пространства.
Один из ярких примеров — q-деформированная модель AdS5 × S5, которая сохраняет интегрируемость, но приводит к нетривиальной геометрии, связанной с Drinfeld–Jimbo квантовыми алгебрами. Эти модели важны в контексте дуальностей и симметрий квантовых гравитационных теорий.