Ренормализационная группа и β-функция

Ренормализационная группа (RG) — это мощный инструмент в квантовой теории поля (КТП), который позволяет исследовать поведение теорий при изменении масштаба. Основная идея состоит в том, что параметры теории, такие как масса и заряд, зависят от энергии, на которой происходит взаимодействие. Эти зависимости описываются с помощью β-функции, которая играет ключевую роль в понимании масштабной инвариантности теории и ее устойчивости.

Основные принципы ренормализационной группы

Ренормализационная группа была введена для изучения изменений параметров теории при изменении масштабов энергии. В процессе ренормализации возникают дивергенции, которые нужно компенсировать, чтобы сохранить физический смысл теории. Однако для многих моделей квантовых полей важно понять, как изменения этих параметров зависят от масштаба, что и описывается ренормализационной группой.

Для того чтобы проиллюстрировать эти изменения, следует рассмотреть параметры теории, такие как масса m, заряд g или изолированные взаимодействия, которые могут изменяться в зависимости от энергии. Эти зависимости характеризуются β-функцией:

$$ \beta(g) = \frac{dg}{d\ln(\mu)} $$

где g — это параметр теории (например, взаимодействие), а μ — это энергетический масштаб. β-функция показывает, как изменяется параметр взаимодействия при изменении масштаба.

Дифференциальное уравнение ренормализационной группы

Основной инструмент для исследования зависимости параметров теории от масштаба — это дифференциальное уравнение, которое описывает поведение этих параметров:

$$ \frac{d}{d\ln(\mu)} g(\mu) = \beta(g(\mu)) $$

Это уравнение позволяет анализировать, как параметры теории изменяются в зависимости от масштаба. Важно отметить, что наличие в уравнении только параметра g означает, что теория имеет только один параметр взаимодействия, но для более сложных теорий может быть несколько таких параметров.

Физическое значение β-функции

Физическое значение β-функции можно интерпретировать следующим образом:

• Если β-функция положительна (β(g) > 0), параметр взаимодействия растет с увеличением масштаба. Это обычно связано с неустойчивыми теориями, например, с асимптотически свободными теориями.
• Если β-функция отрицательна (β(g) < 0), параметр взаимодействия уменьшается при увеличении масштаба. Это характерно для стабильных теорий, например, для электродинамики.
• Если β-функция равна нулю (β(g) = 0), параметры взаимодействия не зависят от масштаба. Это означает, что теория является масштабно инвариантной.

Асимптотическая свобода и асимптотическая безопасность

Важными концепциями, связанными с ренормализационной группой, являются асимптотическая свобода и асимптотическая безопасность:

• Асимптотическая свобода описывает поведение теории, когда при высоких энергиях параметры взаимодействия стремятся к нулю. Это наблюдается, например, в квантовой хромодинамике (КХД), где взаимодействие между кварками ослабевает на малых расстояниях (высоких энергиях).

  В случае асимптотической свободы β(g) отрицательна для больших значений g, что означает ослабление взаимодействия при увеличении масштаба.

• Асимптотическая безопасность предполагает, что теория имеет фиксированную точку в большом масштабе, где взаимодействия стабилизируются. Это может происходить, например, в теории гравитации на больших энергиях, где взаимодействия стремятся к определенной фиксированной точке.

Пример: β-функция для квантовой электродинамики (КЭД)

Рассмотрим простую модель — квантовую электродинамику (КЭД). В этой теории β-функция для заряда e имеет следующий вид:

$$ \beta(e) = \frac{e^3}{12\pi^2} $$

Эта функция показывает, что заряд e увеличивается с ростом энергии, что свидетельствует о существовании эффекта квантовых коррекций, проявляющихся на малых расстояниях. Это также объясняет, почему взаимодействие между элементарными частицами в электродинамике становится более сильным на малых расстояниях (высоких энергиях).

Пример: β-функция для квантовой хромодинамики (КХД)

Для квантовой хромодинамики β-функция имеет более сложный вид и выглядит как:

β(g_s) = −β₀g_s³ − β₁g_s⁵ + …

где g_s — это сильный взаимодействие, а β₀ и β₁ — константы, определяющие поведение β-функции. Этот вид β-функции указывает на асимптотическую свободу, что означает ослабление взаимодействия на высоких энергиях.

Задачи ренормализационной группы в разных теориях

Ренормализационная группа позволяет не только анализировать изменения параметров в зависимости от масштаба, но и исследовать возможные фазовые переходы и критические точки теории. В теории поля с сильными взаимодействиями, например, в теории КХД, ренормализационная группа используется для изучения того, как кварки и глюоны взаимодействуют на разных расстояниях.

С помощью ренормализационной группы также можно исследовать критические явления в статистической физике и теории поля, изучая фазовые переходы и поведение системы при больших расстояниях (низких энергиях).

Заключение

Ренормализационная группа и β-функция играют ключевую роль в понимании поведения квантовых теорий поля при изменении масштаба. Эти концепции позволяют исследовать стабильность теорий, их асимптотические свойства и фазовые переходы, что имеет важное значение для разработки новых теорий в физике высоких энергий и других областях.