Физика дифракции лазерных пучков
Дифракция — фундаментальное явление, возникающее при распространении волны вблизи препятствий и отверстий, когда размеры этих объектов сравнимы с длиной волны. Для лазерного излучения, обладающего высокой когерентностью и пространственной упорядоченностью, дифракционные эффекты приобретают особую важность. Они определяют пространственное распространение пучка, его сужение, расширение, фокусировку и взаимодействие с оптическими элементами.
Дифракция в лазерной физике тесно связана с формированием мод, распространением в оптических резонаторах, качеством фокусировки, а также с пределами пространственного разрешения при регистрации и обработке лазерного излучения.
Для описания дифракции лазерных пучков используется параксиальное приближение, которое предполагает, что угол между направлением распространения пучка и отклонением от оси мал. В этом приближении волновое уравнение сводится к уравнению параксиальной волны:
$$ \left( \nabla_\perp^2 - 2ik \frac{\partial}{\partial z} \right) U(x, y, z) = 0, $$
где $\nabla_\perp^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ — поперечный лапласиан, k — волновое число, z — координата вдоль оси пучка, U(x, y, z) — комплексная амплитуда поля.
Решения этого уравнения описывают эволюцию формы пучка при его распространении в свободном пространстве.
Базовое решение уравнения параксиальной волны — гауссов пучок, который представляет собой наиболее фундаментальную форму лазерного излучения:
$$ U(r, z) = U_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp\left( -\frac{r^2}{w^2(z)} \right) \exp\left( -ikz - i\frac{kr^2}{2R(z)} + i\zeta(z) \right), $$
где:
Ключевой особенностью гауссова пучка является дифракционное расхождение, обусловленное конечной апертурой и волновой природой света. Расхождение пучка определяется формулой:
$$ \theta = \frac{\lambda}{\pi w_0}, $$
где λ — длина волны.
Чем уже пучок в области ваиста, тем сильнее его расхождение при удалении от фокуса.
В классических задачах дифракции рассматриваются случаи, когда лазерный пучок встречает препятствие — например, узкую щель или круговое отверстие. Для описания таких ситуаций используется дифракция Фраунгофера (дальняя зона) и дифракция Френеля (ближняя зона).
При условии, что расстояние от апертуры до наблюдательной плоскости значительно превышает характерные размеры дифрагирующей структуры, форма дифракционного узора определяется прямым преобразованием Фурье поперечного профиля поля в плоскости апертуры.
Для круглой апертуры в случае нормального падения гауссова пучка:
$$ I(\rho) \propto \left( \frac{2J_1(k a \rho / z)}{k a \rho / z} \right)^2, $$
где a — радиус апертуры, J1 — функция Бесселя первого рода, ρ — координата в наблюдательной плоскости.
В ближней зоне нельзя пренебрегать кривизной волнового фронта, и расчет поля требует использования интегралов Френеля. В этом случае интенсивность определяется выражениями вида:
$$ U(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \iint U(x', y', 0) \exp\left[ \frac{ik}{2z} \left( (x - x')^2 + (y - y')^2 \right) \right] dx' dy'. $$
Эти интегралы описывают влияние геометрии препятствия на пространственное распределение амплитуды поля в любой плоскости за апертурой.
Линзы и зеркала изменяют пространственную структуру пучка, что приводит к перераспределению интенсивности и фазовой структуры. Важным аспектом является дифракционное ограничение фокусировки, обусловленное соотношением:
Δx ⋅ Δθ ≳ λ,
что является аналогом соотношения неопределенности: чем меньше поперечный размер пучка, тем больше угловое расхождение.
Минимально достижимый размер пятна фокусировки (дифракционный предел):
$$ r_\text{min} \sim \frac{1.22 \lambda}{2 \mathrm{NA}}, $$
где NA — числовая апертура системы.
При достаточно высоких интенсивностях лазерного излучения могут проявляться нелинейные эффекты, ведущие к самодифракции — перераспределению пучка в пространстве из-за индуцированных изменений показателя преломления. Такие эффекты, как самофокусировка и саморасфокусировка, существенно изменяют дифракционные свойства лазерного пучка.
Эти явления описываются нелинейным уравнением Шрёдингера:
$$ i \frac{\partial A}{\partial z} + \frac{1}{2k} \nabla_\perp^2 A + \frac{k n_2}{n_0} |A|^2 A = 0, $$
где n2 — коэффициент нелинейности, A — амплитуда поля.
Нелинейные эффекты приводят к стабилизации формы пучка, формированию солитонов, или наоборот — к его распаду и турбулентным структурам.
Дифракционные характеристики тесно связаны с качеством пучка. Для количественной оценки применяют параметр качества пучка M2, определяющий отклонение пучка от идеального гауссова:
$$ M^2 = \frac{\pi w_0 \theta}{\lambda}. $$
Для идеального гауссова пучка M2 = 1, для реальных лазеров M2 > 1. Параметр M2 влияет на фокусируемость и степень расхождения пучка при его распространении.
Важным проявлением дифракции является интерференция, возникающая при наложении когерентных пучков. При этом возникают интерференционные картины, определяемые соотношением фаз и амплитуд волн.
Дифракционные решетки (прямые, объемные, голографические) используются для спектрального разложения лазерного излучения и создания лазеров с определённой длиной волны. Максимум интенсивности в дифракции на решетке удовлетворяет уравнению:
dsin θm = mλ,
где d — период решетки, m — порядок дифракции.
Дифракция демонстрирует границу применимости геометрической оптики. Там, где размеры объектов становятся сравнимыми с длиной волны, необходимо использовать волновой подход. Это особенно важно в миниатюрных лазерных системах, микрорезонаторах, фотонных кристаллах и волноводах, где дифракционные эффекты определяют характеристики излучения.
Явление дифракции является неотъемлемым компонентом физики лазеров, определяя фундаментальные и прикладные аспекты распространения, фокусировки и взаимодействия пучков с окружающей средой.