Динамическая теория среднего поля

Динамическая теория среднего поля (ДТСП) является развитием классической теории среднего поля, учитывающей не только статические свойства магнитных систем, но и их временную эволюцию. Этот подход позволяет описывать динамику коллективных возбуждений, флуктуации и релаксационные процессы в магнитных материалах. Основная идея заключается в замене сложной системы взаимодействующих спинов на эффективное среднее поле, которое теперь зависит от времени и подвержено собственным динамическим изменениям.

Математическая формулировка

Для спиновой системы с гамильтонианом

ℋ = −∑_i, jJ_ijS_i ⋅ S_j − ∑_iH ⋅ S_i

где J_ij — константа обменного взаимодействия, S_i — спин в узле i, а H — внешнее магнитное поле, стандартная теория среднего поля предполагает замену:

S_j → ⟨S_j⟩

В динамической теории среднее поле становится функцией времени:

h_i(t) = ∑_jJ_ij⟨S_j(t)⟩ + H(t)

Эволюция среднего спина описывается уравнением Ландау–Лифшица (LL) или Ландау–Лифшица–Гилберта (LLG):

$$ \frac{d\langle \mathbf{S}_i(t)\rangle}{dt} = - \gamma \langle \mathbf{S}_i(t)\rangle \times \mathbf{h}_i(t) - \lambda \langle \mathbf{S}_i(t)\rangle \times \left[\langle \mathbf{S}_i(t)\rangle \times \mathbf{h}_i(t)\right] $$

где γ — гиромагнитное соотношение, λ — коэффициент затухания. Первое слагаемое описывает прецессию спина вокруг эффективного поля, второе — релаксацию к направлению поля.

Линеаризация и анализ малых колебаний

Для исследования возбуждений около равновесного состояния ⟨S_i⟩ = S₀ удобно рассматривать малые отклонения:

δS_i(t) = S_i(t) − S₀

Линеаризованное уравнение позволяет получить спектр магнитных возбуждений (спиновых волн):

$$ \frac{d \, \delta \mathbf{S}_i(t)}{dt} = - \gamma \delta \mathbf{S}_i(t) \times \mathbf{h}_0 - \gamma \mathbf{S}_0 \times \sum_j J_{ij} \delta \mathbf{S}_j(t) $$

Решение этого уравнения в пространстве волн (k-пространстве) приводит к дисперсионной зависимости спиновых волн:

ω(k) = γ[H + J(k)S₀]

где J(k) — преобразование Фурье обменного взаимодействия J_ij. Динамическая теория среднего поля позволяет учитывать не только спектр, но и временное затухание и флуктуации.

Флуктуации и корреляционные функции

Для описания динамических свойств необходимо учитывать корреляционные функции спинов:

C_ij(t) = ⟨δS_i(0) ⋅ δS_j(t)⟩

В рамках ДТСП можно записать уравнение движения для корреляционной функции, используя приближение среднего поля:

$$ \frac{d}{dt} C_{ij}(t) = - \gamma \sum_k \epsilon_{\alpha\beta\gamma} \langle S_i^\beta(t) h_i^\gamma(t) \rangle $$

где ϵ_αβγ — символ Леви-Чивиты. Такое приближение позволяет рассчитать спектр флуктуаций, линии резонансного поглощения и коэффициенты релаксации.

Релаксационные процессы

Динамическая теория среднего поля дает основу для описания релаксации спиновой системы к термодинамическому равновесию. Введя приближение Блох-Редфильда, можно получить:

$$ \frac{d M_\parallel}{dt} = - \frac{M_\parallel - M_0}{T_1}, \quad \frac{d \mathbf{M}_\perp}{dt} = - \frac{\mathbf{M}_\perp}{T_2} + \gamma \mathbf{M}_\perp \times \mathbf{H}_{\text{eff}} $$

где T₁ и T₂ — продольное и поперечное времена релаксации, M_∥ и M_⟂ — компоненты магнитной намагниченности. Эти уравнения описывают как прецессию, так и затухание возбуждений.

Применения динамической теории среднего поля

Спиновые волны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках — позволяет предсказать дисперсионные зависимости и линии поглощения.
Магнитный резонанс (EPR, NMR) — расчет ширины линий и смещения резонанса.
Тепловые флуктуации — анализ критических явлений и динамических корреляций вблизи точки Кюри.
Магнетизация тонких пленок и наночастиц — учет динамического демпфирования и анизотропных эффектов.

Ключевые особенности

Учет временной эволюции среднего поля.
Возможность расчета спектров возмущений и линий релаксации.
Применимость к системам с сильными обменными взаимодействиями и сложной геометрией.
Возможность сочетания с квантовыми коррекциями, например, через функционалы Грина или методы Монте-Карло.

Динамическая теория среднего поля является фундаментальным инструментом для исследования как классических, так и квантовых магнитных систем, предоставляя связь между микроскопической структурой взаимодействий и наблюдаемыми динамическими свойствами.