Модель Гейзенберга

Модель Гейзенберга является фундаментальной концепцией в квантовой теории магнитных явлений, описывающей взаимодействие между спинами электронов в кристаллической решётке. В отличие от модели Изинга, где спины считаются строго направленными вдоль одной оси, модель Гейзенберга учитывает векторный характер спина, позволяя описывать более сложные магнитные структуры и взаимодействия.

Ключевой особенностью модели является обменное взаимодействие, которое возникает из принципа Паули и законов квантовой механики. Энергия взаимодействия двух спинов в модели Гейзенберга записывается через гамильтониан:

$$ \hat{H} = -2 \sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij} \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j $$

где:

  • $\hat{\mathbf{S}}_i$ и $\hat{\mathbf{S}}_j$ — операторы спина на i-м и j-м узлах кристаллической решётки;
  • Jij — параметр обменного взаимодействия, определяющий характер связи (ферромагнитный J > 0 или антиферромагнитный J < 0);
  • сумма ведётся по всем парам ближайших соседей ⟨i, j⟩.

Эта форма гамильтониана отражает симметрию спинового взаимодействия во всех направлениях пространства, что позволяет модели Гейзенберга описывать как коллинеарные, так и неколлинеарные магнитные состояния.

Физическая природа обменного взаимодействия

Обменное взаимодействие возникает из квантовомеханического принципа тождественности электронов. Согласно принципу Паули, два электрона не могут находиться в одном квантовом состоянии, что приводит к зависимости энергии от взаимной ориентации их спинов. Для двух электронов взаимодействие выражается через разность энергий состояний с параллельными и антипараллельными спинами:

Eобмен = −2JS1 ⋅ S2

где величина J определяется перекрытием волновых функций электронов и силой кулоновского отталкивания. Таким образом, обменное взаимодействие является чисто квантовым эффектом, не имеющим классического аналога.

Виды магнитного упорядочения

Модель Гейзенберга позволяет описывать несколько типов магнитного упорядочения:

  1. Ферромагнетизм (J > 0) Все спины стремятся выровняться параллельно, создавая макроскопическое магнитное поле. Энергетически выгодно, когда Si ⋅ Sj = S2.

  2. Антиферромагнетизм (J < 0) Спины соседних узлов ориентированы антипараллельно, что минимизирует энергию системы. В простейшем случае формируется двухподрешётчатая структура с противоположной ориентацией спинов.

  3. Фрустрированные системы В геометрически сложных решётках (треугольная, пирамида) не удаётся одновременно минимизировать энергию для всех пар соседей, что приводит к фрустрации и появлению сложных неколлинеарных спиновых конфигураций.

Квантовые эффекты в модели Гейзенберга

Одной из ключевых особенностей модели является учёт квантовой природы спина. В частности:

  • Квантование спина определяет конечное число доступных состояний для каждого узла (2S + 1 уровней).
  • Флуктуации спина проявляются особенно сильно при низких размерностях (1D и 2D системы), что приводит к разрушению долгопорядочного магнитного упорядочения при T > 0 в соответствии с теоремой Менделеева–Мermin–Вагнера.
  • Спиновые волны (магноны) — квазичастицы, описывающие коллективные возбуждения спиновой системы. В модели Гейзенберга они появляются как результат малых отклонений спинов от ферромагнитного или антиферромагнитного порядка.

Методы решения и приближения

Полное решение гамильтониана Гейзенберга возможно только для малых систем. Для больших решёток применяются различные методы:

  1. Метод Вигнера–Крейгера (линейная теория магнонов) Используется для изучения низкоэнергетических возбуждений в ферро- и антиферромагнетиках.

  2. Методы средних полей Заменяют влияние всех соседей на узел усреднённым полем, что позволяет получить приближённые значения температурных зависимостей магнетизации.

  3. Численные методы

    • Метод Монте-Карло для моделирования термодинамических свойств;
    • Диагонализация гамильтониана для точного вычисления низкоэнергетических состояний;
    • DMRG (Density Matrix Renormalization Group) для одномерных систем.

  4. Босонизация и спиновые цепи Применяются для низкоразмерных систем, позволяя описать квантовые эффекты в спиновых цепочках и решётках.

Температурные эффекты

Температурное поведение систем Гейзенберга описывается через магнитную восприимчивость и магнитную энтропию:

  • При низких температурах ферромагнитные системы демонстрируют M(T) ≈ M0(1 − αT3/2), где закон Блохса описывает спиновые волны.

  • При высоких температурах наблюдается спад магнетизации, а система стремится к парамагнитному состоянию, подчиняясь закону Кюри–Вейса:

    $$ \chi(T) = \frac{C}{T - \theta} $$

    где θ ∼ zJS(S + 1)/3kB — параметр Кюри–Вейса, связанный с обменным взаимодействием и координационным числом z.

Анизотропия и внешние поля

Хотя модель Гейзенберга изначально изотропна, в реальных кристаллах наблюдаются спиновые анизотропии, связанные с кристаллическим полем и спин–орбитальным взаимодействием:

Ĥаниз = D∑i(Ŝiz)2

где D — константа анизотропии. Анизотропия влияет на направление магнетизации и на спектр спиновых волн.

Влияние внешнего магнитного поля H учитывается добавлением члена:

$$ \hat{H}_{\text{Zeeman}} = - g \mu_B \sum_i \mathbf{H} \cdot \hat{\mathbf{S}}_i $$

что позволяет моделировать процессы намагничивания и изучать явления намагничивания, такие как насыщение и петли гистерезиса.

Оглавление