Турбулентные течения описываются уравнениями Навье–Стокса, однако их решение в явном виде практически невозможно из-за высокой нелинейности и наличия большого числа степеней свободы. В общем виде уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости имеет вид:
$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, $$
∇ ⋅ u = 0,
где u — вектор скорости, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость, f — внешняя сила.
В турбулентном режиме переменные являются случайными функциями времени и координат, и классические методы теряют применимость. В связи с этим основным подходом становится статистическое усреднение.
Ключевая идея статистической теории турбулентности — разложение физических величин на среднюю и флуктуационную части. Для скорости:
$$ \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}', \quad \text{где } \overline{\mathbf{u}} = \mathbb{E}[\mathbf{u}],\quad \mathbb{E}[\mathbf{u}'] = 0. $$
Подставляя это разложение в уравнения Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса (RANS):
$$ \frac{\partial \overline{\mathbf{u}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla) \overline{\mathbf{u}} = -\frac{1}{\rho} \nabla \overline{p} + \nu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} - \nabla \cdot \overline{\mathbf{u}' \otimes \mathbf{u}'} + \overline{\mathbf{f}}. $$
Здесь возникает тензор Рейнольдсовых напряжений $R_{ij} = \overline{u'_i u'_j}$, содержащий информацию о турбулентных флуктуациях.
Система уравнений Рейнольдса требует дополнительных соотношений для замыкания. Без этого система является недоопределённой. Классическим методом замыкания служит введение гипотезы Буссинеска:
$$ R_{ij} = -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i}$ — турбулентная кинетическая энергия.
Существуют различные модели замыкания: нулевого порядка (Prandtl, mixing length), одно- и двухпараметрические модели (k-ε, k-ω), и модели большого вихря (LES), каждая из которых предполагает свои гипотезы о структуре турбулентности.
Статистическое описание турбулентности осуществляется с помощью корреляционных функций:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{u'_i(\mathbf{x}) u'_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})}, $$
и их преобразований — энергетических спектров:
E(k) = спектральная плотность кинетической энергии.
Закон Колмогорова в инерциальном диапазоне:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии.
Колмогоровская теория (1941) предполагает, что в инерциальном диапазоне (между масштабами энергии и диссипации) структура турбулентности универсальна и зависит только от ε и ν.
Скейлинговые соотношения:
δul ∼ (εl)1/3, где δul = u(x + l) − u(x).
Это приводит к универсальному виду распределения энергии по масштабам, что экспериментально подтверждается во многих классах турбулентных течений.
Асимптотические методы позволяют находить приближённые решения задач математической физики при наличии малого параметра ε. Пусть требуется найти решение уравнения:
L[u] + εN[u] = 0,
где L — линейный оператор, N — нелинейный. Метод регулярных возмущений предполагает разложение:
u = u0 + εu1 + ε2u2 + ….
Подставляя разложение в уравнение и приравнивая коэффициенты при степенях ε, получаем последовательность задач:
L[u0] = 0, L[u1] + N[u0] = 0, и т. д.
Этот метод широко используется, например, для анализа линейной устойчивости течений или изучения поведения при больших или малых числах Рейнольдса.
В задачах с несколькими характерными масштабами (временными или пространственными) используется метод кратных масштабов. Пусть наблюдаются медленный X = εx и быстрый x масштаб. Тогда искомая функция u представляется как:
$$ u(x) = u(x, X), \quad \frac{d}{dx} \rightarrow \frac{\partial}{\partial x} + \varepsilon \frac{\partial}{\partial X}. $$
Такой подход эффективен при изучении колебательных систем, волн, турбулентных пограничных слоёв и диффузионных явлений.
Метод Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (WKB) используется в случаях, когда решение имеет осцилляторный характер:
u(x) ∼ A(x)eiS(x)/ε, ε → 0.
Подстановка в дифференциальное уравнение даёт уравнение типа Гамильтона–Якоби для фазы S(x) и транспортное уравнение для амплитуды A(x). Этот метод применим в квантовой механике, акустике, волновой оптике и теории плазмы.
В задачах сингулярных возмущений малый параметр стоит при высшей производной:
εu″ + a(x)u′ + b(x)u = f(x).
Появляются пограничные слои, где решение резко изменяется. Применяется метод сплошных аппроксимаций: выделяются внутренняя (в пограничном слое) и внешняя (вне слоя) асимптотики, которые согласовываются в области перекрытия.
Такой подход особенно важен при анализе тонких структур в гидродинамике, например, при моделировании ламинарно-турбулентного перехода или течений с узкими областями сильного градиента.
Асимптотические разложения часто не являются сходящимися рядами, но позволяют получить точные приближения. Для улучшения аппроксимации используют методы суммирования (например, метод Паде) или методы регуляризации (обобщённые функции, теория распределений).
В теории турбулентности подобные методы применяются, например, при построении моделей крупномасштабных вихрей и реконструкции полей с потерей информации о мелких масштабах.
Таким образом, как статистические, так и асимптотические методы составляют основу современного математического аппарата в физике турбулентности и смежных дисциплинах. Они не только обеспечивают приближённые решения сложнейших уравнений, но и позволяют выявить универсальные закономерности, скрытые за сложной динамикой.