Физическая природа турбулентности
Турбулентность — это режим течения жидкости или газа, при котором наблюдаются хаотические, неустойчивые, многомасштабные движения. Она характеризуется высокой чувствительностью к начальным условиям, наличием вихрей различного масштаба и эффективным переносом массы, импульса и энергии. В силу своей нелинейной природы турбулентность описывается системой уравнений Навье–Стокса, которая не допускает аналитического решения в общем виде.
Для статистического описания турбулентности используется представление о полях скоростей и давлений как случайных величинах. Основное внимание при этом уделяется статистическим моментам, корреляционным функциям и спектральным характеристикам.
В основе классической теории турбулентности лежит феноменологическая гипотеза Колмогорова (1941), согласно которой в инерциальном диапазоне масштабов турбулентности (между масштабами возмущения и вязкости) имеет место универсальное поведение.
Основные положения теории Колмогорова:
Изотропия и однородность на малых масштабах: средние характеристики турбулентности не зависят от направления и положения в пространстве.
Константа потока энергии: энергия поступает на большие масштабы, а затем каскадирует к меньшим, где диссипируется вязкостью.
Спектр скоростей в инерциальном диапазоне:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где E(k) — спектральная плотность энергии, ε — скорость диссипации энергии, k — волновое число.
Это выражение получено из размерностного анализа и подтверждается экспериментально и численно во многих случаях.
Для описания статистических свойств турбулентного поля используется вторая корреляционная функция скоростей:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
где ⟨⋅⟩ означает усреднение по ансамблю или времени, а u — флуктуационная составляющая скорости.
Тензор Рейнольдса:
τij = ρ⟨uiuj⟩
входит в уравнения Рейнольдса, полученные после усреднения уравнений Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \langle u_i u_j \rangle}{\partial x_j}. $$
Термин с ⟨uiuj⟩ представляет собой перенос импульса флуктуациями и требует моделирования для замыкания системы.
Поскольку уравнения Рейнольдса не замкнуты, для их решения требуется приближение, выражающее тензор Рейнольдса через усреднённые величины. Простейшая модель — это гипотеза Буссинеска, по которой:
$$ \langle u_i u_j \rangle = - \nu_t \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3} k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \langle u_i u_i \rangle$ — кинетическая энергия турбулентности.
Модели замыкания:
Турбулентность в кровотоке
Несмотря на то, что большинство сосудов человека характеризуются ламинарным потоком, в определённых условиях (например, в аорте при повышенном давлении или при стенозах) могут возникать турбулентные режимы. Эти явления могут быть диагностически значимыми: турбулентность приводит к появлению акустических шумов, используемых в аускультации и допплеровской визуализации.
Для описания таких процессов применяются численные модели, учитывающие нелинейность и пульсации давления, а также взаимодействие с гибкими стенками сосудов. В этих моделях важно учитывать временную зависимость и связь с биомеханикой тканей.
Случайные процессы в физиологии
Многие процессы в физиологии носят вероятностный характер. Примеры:
Для их описания используются:
В частности, вариабельность сердечного ритма (HRV) анализируется с помощью статистик типа:
Дозиметрия и статистика распадов
Радиоактивный распад описывается пуассоновской статистикой. Для регистрации излучения применяются счётчики, число событий в которых является случайной величиной. Рассеяние, поглощение и прохождение частиц моделируются методом Монте-Карло, широко применяемым в планировании лучевой терапии.
Метод Монте-Карло позволяет учесть:
Это требует статистического анализа большого числа случайных траекторий частиц, что делает метод мощным инструментом количественной биофизики.
Биологические системы открыты и находятся в состоянии дальней от равновесия. Их поведение описывается стохастическими дифференциальными уравнениями (например, уравнением Ланжевена), а также формализмом флуктуационно-диссипативной теории.
Примеры:
Математическая физика применяет к ним:
Биологические объекты часто обладают фрактальной геометрией: сосудистая сеть, структура лёгких, ветвление нейронов. Эти структуры описываются не целочисленными размерностями:
$$ D = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log (1/\varepsilon)}, $$
где N(ε) — число покрывающих элементов размера ε.
Турбулентные и флуктуирующие процессы в биофизике часто имеют мультифрактальную природу, что отражается в спектрах сингулярностей и функции распределения энергии.
Анализ фрактальности используется для:
Применение статистической физики в биологии позволяет формализовать понятие “жизненной функции” как флуктуирующего процесса. Например, модель Ходжкина–Хаксли в нейрофизиологии имеет вероятностные обобщения, учитывающие стохастическую динамику ионных каналов. Таким образом, физика через статистические методы проникает в фундаментальные механизмы живых систем.