Основные уравнения и масштабные свойства турбулентных потоков
Исходной моделью описания турбулентных течений в несжимаемой жидкости служит уравнение Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2}, \quad \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0, $$
где ui(x, t) — компоненты скорости, p(x, t) — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость.
Турбулентный поток характеризуется наличием широкого спектра пространственно-временных масштабов. При высоких числах Рейнольдса наблюдается каскад энергии от крупных вихрей к мелким — так называемый инерционный интервал. Согласно гипотезе Колмогорова, в этом интервале статистические свойства потока универсальны и определяются только скоростью поступления энергии в каскад ε.
Функции корреляции и спектральный анализ
Для статистического описания турбулентности вводятся автокорреляционные тензоры второго порядка:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
где среднее ⟨⋅⟩ может пониматься как ансамблевое или временное (в случае стационарности). На основе Rij(r) определяется энергетический спектр:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} R_{ii}(\mathbf{r}) d^3r, $$
при этом в инерционном интервале спектр имеет характерную форму:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3.
Это соответствует классическому закону Колмогорова и подтверждается многими экспериментами.
Статистическая замкнутость и гипотеза подобия
Главная трудность — отсутствие замкнутости в уравнениях для средних значений. Например, уравнение для Rij содержит третий порядок корреляций. Подходы к замыканию:
Интермиттенция и отклонения от K41
Наблюдаемая интермиттенция (неровномерность флуктуаций в пространстве и времени) приводит к отклонениям от простого масштабирования. Вводятся обобщённые законы масштабирования для моментов разности скоростей:
$$ \langle [\delta u(r)]^n \rangle \sim r^{\zeta_n}, \quad \text{но } \zeta_n \neq \frac{n}{3}. $$
Такие наблюдения требуют учета мультифрактальной структуры энергетического каскада, что приводит к моделям типа Шрамма–Лёвнера и обобщённым мерам сингулярности.
Статистическая теория Ландау и нестабильности
В рамках подхода Ландау турбулентность рассматривается как результат каскадных бифуркаций при увеличении числа Рейнольдса. Количество активно взаимодействующих мод возрастает экспоненциально, что требует введения вероятностного описания фазовых переменных. В дальнейшем на этой основе были построены эргодические модели турбулентности и введены статистические ансамбли.
Метрика Шварцшильда и фундаментальные особенности
Статической вакуумной метрикой, описывающей сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна, является метрика Шварцшильда:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$
Сингулярность в r = 0 — физическая (кривизна стремится к бесконечности), а r = 2GM — координатная. Последняя устраняется переходом к координатам Крускала–Секереша, открывающим полную структуру максимального аналитического продолжения.
Сингулярности: математическая классификация
Сингулярности в Общей теории относительности (ОТО) делятся на:
Теоремы Пенроуза–Хокинга утверждают, что при соблюдении энергосостояния и фокусирующих условий, сингулярности неизбежны в коллапсирующих системах.
Динамика гравитационного коллапса
Сценарий сферически-симметричного коллапса можно рассмотреть на примере решения Опенгеймера–Снайдера. Изначально пылевая конфигурация с конечным радиусом сжимается под действием гравитации. Внутри — метрика Фридмана; снаружи — метрика Шварцшильда. При конечном собственном времени звезды образуется горизонт событий и скрытая сингулярность — классическая черная дыра.
Квантовые поля на фоне черной дыры: излучение Хокинга
Квантование скалярного поля на стационарном фоне метрики Шварцшильда приводит к удивительному результату: черные дыры испускают излучение с температурой:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}. $$
Это следствие различий между вакуумами на бесконечности и у горизонта. Вывод основывается на анализе волн синим смещением у горизонта и методах продолжения функций Грина. Таким образом, черная дыра — термодинамический объект с энтропией:
$$ S = \frac{k_B A}{4 \hbar G}, $$
где A — площадь горизонта. Это открытие приводит к глубинным вопросам о микроскопической структуре гравитации и информационном парадоксе.
Сингулярности в космологии: начало времени
Во многих решениях космологических уравнений, включая модели Фридмана–Леметра, возникает начальная сингулярность — Большой взрыв. При t → 0 плотность энергии и кривизна стремятся к бесконечности. Сценарии разрешения:
Математические методы описания сингулярных структур
Для анализа пространственно-временных особенностей у горизонтов и сингулярностей применяются:
Сингулярности в квантовой гравитации
Теории квантовой гравитации — суперструны, петлевая гравитация, асимптотическая безопасность — стремятся устранить классические сингулярности. Например, в петлевой космологии квантованные уравнения Фридмана заменяют бесконечности конечными величинами, и сингулярность заменяется квантовым отскоком. В теории струн сингулярности могут рассматриваться как результат игнорирования дополнительных измерений или эффектов дуальностей.