Фундаментальные уравнения турбулентного движения
Основу описания турбулентности составляет уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0, $$
где u(x, t) — поле скорости, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость.
Для турбулентного режима скорости обладают хаотическим характером, и прямое численное решение уравнений становится практически невозможным при высоких числах Рейнольдса. Следовательно, возникает необходимость статистического подхода.
Средние поля и разложение Рейнольдса
В статистической теории турбулентности поле скорости и давления разлагаются на средние и флуктуационные компоненты:
$$ \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}', \quad p = \overline{p} + p', $$
где $\overline{(\cdot)}$ — оператор усреднения по ансамблю или времени.
Подстановка в уравнения Навье–Стокса и усреднение приводит к уравнению Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j}, $$
где $\overline{u_i' u_j'}$ — тензор Рейнольдсовых напряжений. Он инкапсулирует вклад флуктуаций в динамику среднего потока и требует моделирования.
Корреляционные функции и уравнения Колмогорова
Одним из центральных статистических объектов является вторая корреляционная функция скорости:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{u_i(\mathbf{x}) u_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})}. $$
Для изотропной турбулентности функция зависит только от r = |r|, и ее скалярная форма подчиняется уравнению Колмогорова–Обухова:
$$ \frac{d}{dr} \left( \frac{r^4}{2} \frac{d}{dr} \left( \frac{D_{LL}(r)}{r} \right) \right) = -4 \varepsilon r^2, $$
где DLL(r) — продольная функция второго порядка:
$$ D_{LL}(r) = \overline{(u_L(\mathbf{x} + \mathbf{r}) - u_L(\mathbf{x}))^2}, $$
а ε — средняя скорость диссипации энергии. Эта формула иллюстрирует энергетический каскад от крупных масштабов к мелким.
Спектральное представление турбулентности
Для анализа турбулентности часто используют преобразование Фурье:
$$ \tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k}) = \int \mathbf{u}(\mathbf{x}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} d^3x, $$
а энергетический спектр определяется как:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int_{|\mathbf{k}| = k} |\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k})|^2 d\Omega_k. $$
В инерциальном диапазоне спектр подчиняется закону Колмогорова:
E(k) = CKε2/3k−5/3,
где CK — постоянная Колмогорова.
Замкнутые модели: гипотеза об эдди-вязкости
Для практического моделирования вводится концепция турбулентной (эдди) вязкости νt, которая связывает тензор Рейнольдса со средним градиентом скорости:
$$ \overline{u_i' u_j'} = - \nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right). $$
Это приближение лежит в основе модели Буссинеска и широко используется в вычислительной гидродинамике.
Пространственно-временной континуум
В специальной теории относительности физическое пространство описывается как четырёхмерное псевдориманово многообразие Минковского. Координаты точки (события) записываются как:
xμ = (ct, x1, x2, x3), μ = 0, 1, 2, 3,
а метрический тензор имеет диагональную форму:
ημν = diag(1, −1, −1, −1).
Скалярное произведение двух четырехвекторов:
AμBμ = ημνAμBν.
Тензоры как обобщение физических величин
Объекты, трансформирующиеся под преобразования Лоренца по определённым правилам, называются тензорами. В частности:
Примеры физических тензоров:
Тензор электромагнитного поля
В компонентах:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}. $$
Максвелловы уравнения компактно записываются:
∂μFμν = μ0Jν, ∂σFμν + ∂μFνσ + ∂νFσμ = 0.
Энергетико-импульсный тензор и уравнение сохранения
Энергетико-импульсный тензор Tμν удовлетворяет уравнению:
∂μTμν = 0,
что обобщает закон сохранения энергии и импульса. В случае идеальной жидкости:
Tμν = (ε + p)uμuν − pημν,
где ε — плотность энергии, p — давление, uμ — четырехскорость.
Символы Кристоффеля и ковариантная производная
В плоском пространстве Минковского производные частные, но в общем случае (например, при учете гравитации) переходят к ковариантной производной:
∇μVν = ∂μVν + ΓμλνVλ,
где Γμλν — символы Кристоффеля, выражающиеся через производные метрического тензора.
Инерциальные системы и преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца сохраняют интервал:
s2 = ημνxμxν = инвариант.
Формула одномерного преобразования:
$$ \begin{cases} t' = \gamma(t - vx/c^2), \\ x' = \gamma(x - vt), \end{cases} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. $$
Лагранжева и гамильтонова формулировки
В релятивистской теории поля тензорный подход позволяет записывать Лагранжианы, вариационные принципы и уравнения Эйлера–Лагранжа в форме:
δ∫ℒ(ϕ, ∂μϕ) d4x = 0.
Это подводит к формализму квантовой теории поля и гравитации (через тензор Эйнштейна).
Принцип локальной инвариантности и калибровка
Тензорный подход позволяет формулировать теории, обладающие инвариантностью при локальных преобразованиях симметрии — в частности, калибровочные теории. Ввод соответствующего тензора связи (потенциала) обеспечивает корректное преобразование производных:
Dμ = ∂μ + igAμ.
Таким образом, все фундаментальные взаимодействия могут быть выражены в терминах соответствующих тензоров и калибровочных групп.