Дифференциальное и интегральное исчисление в механике. Связь с турбулентностью и статистическими методами
В классической механике движение частиц и континуальных сред описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, вытекающими из закона Ньютона или принципа наименьшего действия. Пусть r⃗(t) — радиус-вектор частицы. Тогда уравнение движения имеет вид:
$$ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}, \dot{\vec{r}}, t) $$
При наличии трения или вязкости сила F⃗ может зависеть от скорости. В этом случае система становится неавтономной, и её анализ требует как методов численного интегрирования, так и построения фазовых портретов.
Для континуальных сред (жидкостей, газов, упругих тел) основными уравнениями являются уравнения Эйлера и Навье–Стокса, представляющие собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Их решение требует тонкого понимания аналитических и численных методов.
Интегральные формы законов сохранения (массы, импульса, энергии) позволяют получать приближённые решения или использовать вариационные принципы. Например, закон сохранения массы в интегральной форме для произвольного объёма V с поверхностью S записывается как:
$$ \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV + \oint_S \rho \vec{v} \cdot d\vec{S} = 0 $$
Подобные выражения часто используются в методе контрольных объёмов в вычислительной гидродинамике. Интегральный подход удобен при постановке граничных условий, особенно в задачах с симметрией или при усреднении.
Турбулентность — это хаотическое, стохастически изменяющееся течение, возникающее при высоких числах Рейнольдса. Поле скоростей v⃗(x⃗, t) представляется как сумма среднего и флуктуационного компонент:
v⃗ = ⟨v⃗⟩ + v⃗′
Где ⟨v⃗⟩ — осреднённая по ансамблю или времени скорость, v⃗′ — турбулентное отклонение. Подстановка в уравнение Навье–Стокса и последующее осреднение приводит к уравнениям Рейнольдса (RANS):
$$ \rho \left( \frac{\partial \langle \vec{v} \rangle}{\partial t} + \langle \vec{v} \rangle \cdot \nabla \langle \vec{v} \rangle \right) = -\nabla \langle p \rangle + \mu \Delta \langle \vec{v} \rangle - \nabla \cdot \langle \rho \vec{v}' \vec{v}' \rangle $$
Последний член — тензор Рейнольдсовых напряжений — требует замыкания, что и есть основная трудность моделирования турбулентности.
Ключевое значение в описании турбулентных процессов имеют дифференциальные операторы, такие как:
Завихренность ω⃗ = ∇ × v⃗ в уравнениях Эйлера и Навье–Стокса используется для построения вихревых моделей и для анализа устойчивости.
Турбулентность — многомасштабное явление. С помощью преобразования Фурье или вейвлет-анализа можно разложить поле скорости на спектр по пространственным частотам:
$$ \vec{v}(\vec{x}, t) = \int \hat{\vec{v}}(\vec{k}, t) e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} d\vec{k} $$
Из уравнений механики получают спектральные уравнения, связывающие энергии различных масштабов. Центральным понятием является спектр турбулентной энергии E(k), описывающий распределение кинетической энергии по волновым числам. В инерционном интервале наблюдается закон Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
где ε — средняя скорость диссипации энергии.
Переход от дифференциальных уравнений к интегральным соотношениям в турбулентных течениях приводит к анализу корреляционных функций. В частности, используется вторая продольная корреляционная функция:
RLL(r) = ⟨vL(x)vL(x + r)⟩
Связь между корреляционной функцией и спектром устанавливается через преобразование Фурье. Таким образом, интегральные характеристики (энергия, диссипация, инварианты) выражаются через спектральные или статистические величины.
Из-за стохастической природы турбулентного потока основной задачей является получение статистических характеристик, таких как:
Кроме RANS-подхода используется метод крупномасштабного моделирования (LES), где крупные вихри моделируются напрямую, а мелкие — статистически.
Для замыкания турбулентных уравнений привлекаются модели, использующие гипотезу Буссинеска:
$$ \langle v_i' v_j' \rangle = -\nu_t \left( \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle v_j \rangle}{\partial x_i} \right) $$
где νt — турбулентная вязкость.
Решение уравнений Навье–Стокса с учётом турбулентности возможно только численно. Применяются:
Численные методы требуют высокого разрешения в пространстве и времени. В случае прямого численного моделирования (DNS) решаются уравнения без моделей, с полным разрешением всех шкал — от масштаба внешнего возмущения до масштаба Колмогорова:
$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4} $$
где η — наименьший масштаб, на котором происходит диссипация энергии.
Классическим результатом является уравнение Колмогорова третьего порядка для изотропной турбулентности:
$$ \langle [\delta v_L(r)]^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r $$
Это единственный точный результат для инерционного интервала, вытекающий из уравнений Навье–Стокса при предположении изотропии и стационарности. Он был получен через интегральную форму баланса энергии и является фундаментом для построения турбулентных моделей.
Анализ уравнений гидродинамики при предельных значениях параметров — важный раздел прикладного анализа. Примеры:
Многие характеристики турбулентного течения выражаются через интегральные инварианты. В частности, для несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил сохраняется импульс и момент импульса:
∫v⃗ dV = const, ∫r⃗ × v⃗ dV = const
Кроме того, при высокой симметрии сохраняются дополнительные величины, связанные с тензором энергии и кинетической энергии вихрей. Такие интегральные соотношения важны при построении моделей и верификации численных решений.